《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2025 山东枣庄调研]如图，有一正方体形状的木块，A 为顶点，B，C 分别为棱的中点，则过点 A，B，C 的平面截该木块所得截面的形状为(C)

A.等腰三角形
B.等腰梯形
C.五边形
D.六边形

答案：
1.C　如图，延长BC，与两条棱的延长线分别交于E,F 两点，连接AE,AF，分别交棱于M,N两点，连接BM,CN,由平面的基本性质可知，五边形AMBCN及内部，即为过点A,B,C的截面，则过点A,B,C的平面截该木块所得截面的形状为五边形.

2. [2024 四川绵阳期末]如图，已知正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的棱长为 2，若 E，F 分别为 $BC$，$CC_{1}$ 的中点，则平面 $AEF$ 截正方体所得的截面面积为(B)

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{9}{2}$
C.9
D.18

答案：
2.B　如图，连接BC₁，AD₁，D₁F.因为E，F分别是BC，CC₁的中点，所以EF//BC₁，在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，易得AD₁//BC₁，所以EF//AD₁，所以A，D₁，F，E在同一平面内，所以平面AEF截该正方体所得的截面为平面EFDA₁.因为正方体的棱长为2，所以EF = $\sqrt{2}$，AD₁ = 2$\sqrt{2}$，D₁F = AE = $\sqrt{2^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{5}$，则点E到AD₁的距离即为等腰梯形EFDA₁的高，即为$\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-(\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2})^{2}}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$，所以截面面积S = $\frac{1}{2}×(2\sqrt{2}+\sqrt{2})×\frac{3\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{9}{2}$.

3. [2025 安徽安庆一中期末]已知正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的棱长为 4，$B_{1}P = 2PC$，$D_{1}Q = 3QC_{1}$，用经过 $B$，$P$，$Q$ 三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为(D)

A.$3\sqrt{15}$
B.$15\sqrt{3}$
C.$\frac{15\sqrt{15}}{4}$
D.$3\sqrt{21}$

答案：
3.D　如图1，延长BP交CC₁于点R，则$\frac{CR}{BB₁}=\frac{CP}{B₁P}=\frac{1}{2}$，即R为CC₁的中点，连接QR，取A₁B₁的中点H，连接BH，则BH//QR，所以B，H，Q，R四点共面.由题易知BH = BR = 2QR = 2$\sqrt{5}$，QH = $\sqrt{17}$，RH = 2$\sqrt{6}$，如图2，在△BRH中，边RH上的高BM = $\sqrt{14}$，记边BH上的高为RN，则BH·RN = RH·BM，所以RN = $\frac{RH·BM}{BH}=\frac{2\sqrt{6}×\sqrt{14}}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{5}}$，所以$S_{梯形BHRQ}=\frac{1}{2}×3\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{21}$

4. [2023 河北衡水期末]如图，三棱锥 $A - BCD$ 的截面 $MNPQ$ 平行于对棱 $AC$，$BD$，且 $\frac{AC}{BD} = m$，$\frac{AM}{MB} = n$，其中 $m$，$n \in (0, +\infty)$。有下列命题：① 对于任意的 $m$，$n$，截面 $MNPQ$ 都是平行四边形；② 当 $AC \perp BD$ 时，对任意的 $m$，都存在 $n$，使得截面 $MNPQ$ 是正方形；③ 当 $m = 1$ 时，截面 $MNPQ$ 的周长与 $n$ 无关；④ 当 $AC \perp BD$，且 $AC = BD = 2$ 时，截面 $MNPQ$ 的面积的最大值为 1。其中假命题的个数为(A)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 4.A　①因为AC//截面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ = MN，AC⊂平面ABC，所以AC//MN，同理AC//PQ，所以MN//PQ，同理MQ//PN，所以对于任意的m，n，截面MNPQ都是平行四边形，所以该命题正确；②当AC⊥BD时，则MN⊥PN，所以截面MNPQ是矩形，MN = $\frac{1}{n + 1}AC$，PN = $\frac{n}{n + 1}BD$，若截面MNPQ是正方形，则MN = PN，即$\frac{1}{n + 1}AC=\frac{n}{n + 1}BD$，$\frac{AC}{BD}=n = m$，此时对任意的m，都存在n = m，使得截面MNPQ是正方形，所以该命题正确；③当m = 1时，设AC = BD = x，所以MN = $\frac{1}{n + 1}x$，PN = $\frac{n}{n + 1}x$，所以MN + PN = x，所以截面的周长为2x，所以截面MNPQ的周长与n无关，所以该命题正确；④当AC⊥BD，且AC = BD = 2时，PN = $\frac{n}{n + 1}×2=\frac{2n}{n + 1}$，MN = $\frac{1}{n + 1}×2=\frac{2}{n + 1}$，由于截面是矩形，所以截面MNPQ的面积为$\frac{4n}{(n + 1)^{2}}=\frac{4}{n + 2+\frac{1}{n}} \leq 1$，当且仅当n = 1时等号成立，所以截面MNPQ的面积的最大值为1，所以该命题正确.

5. [多选题，2025 山东淄博月考]如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体。下列可能是该几何体的截面的为(BCD)

答案：
5.BCD　截面中间是矩形，那么一定是用和正方体底面平行的截面去剖开正方体，并且是从挖去四棱锥的那部分剖开的，但此时剖面中间应该是一个正方形，因此选项A不可能是该几何体的截面，故A错误；当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通过四棱锥顶点，如图1所示，此时截面形状如选项B，故B可能是该几何体的截面，故B正确；

当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行去剖开正方体时，如图2所示中截面PDGH位置，截面形状就会如选项C，故C可能是该几何体的截面，故C正确；

如图3所示，按图中截面A₁B₁C₁的位置去剖开正方体，截面就会如选项D，故D可能是该几何体的截面，故D正确.