《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

1. [2024河南平顶山中学月考]折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形$AOB$，其中$\angle AOB = 120°$，$OA = 2OC = 2$，点$E$在弧$\overset{\frown} {CD}$上，则$\boldsymbol{EA} · \boldsymbol{EB}$的最小值是

A.$-1$
B.$1$
C.$-3$
D.$3$

答案：
1.C以$O$为原点，$\overrightarrow{OB}$为$x$轴的正方向建立平面直角坐标系，则$A(-1,\sqrt{3})$，$B(2,0)$，设$E(\cos\theta,\sin\theta)$，$0^{\circ}\leq\theta\leq120^{\circ}$，$\overrightarrow{EA}·\overrightarrow{EB}=(-1-\cos\theta,\sqrt{3}-\sin\theta)·(2-\cos\theta,-\sin\theta)=(-1-\cos\theta)(2-\cos\theta)-(\sqrt{3}-\sin\theta)\sin\theta=-\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta-1=-2\sin(\theta + 30^{\circ})-1$，所以当$\theta = 60^{\circ}$时，$\overrightarrow{EA}·\overrightarrow{EB}$取得最小值为$-2 - 1 = -3$。
　　　　

2. [2025重庆月考]在$\triangle ABC$中，内角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$，若$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|$，且$b + c = 2a \cos B$，则$a:b:c =$

A.$\sqrt{3}:1:1$
B.$\sqrt{2}:1:1$
C.$1:1:1$
D.$2:\sqrt{3}:1$

答案： 2.B因为$\vert\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\vert=\vert\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\vert$，所以两边平方可得$\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AC}^{2}+2\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AC}^{2}-2\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$，整理可得$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=0$，$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$，即$AB\perp AC$，则$c = a\cos B$，而$b + c = 2a\cos B$，于是$b = a\cos B = c = \frac{\sqrt{2}}{2}a$，所以$a:b:c = \sqrt{2}:1:1$。

3. [2025江苏扬州中学月考]在$\triangle ABC$中，$AB = \sqrt{2}AC$，$AD = 2DB$，$AE = 3EC$，$CD$与$BE$交于$F$，若$\overrightarrow{AF} · \overrightarrow{BC} = 0$，则$\angle BAC =$(D)

A.$\frac{\pi}{4}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{\pi}{2}$
D.$\frac{3\pi}{4}$

答案：
3.D根据题意可知，在$\triangle ABC$中，$AB = \sqrt{2}AC$，$AD = 2DB$，$AE = 3EC$，$\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{BC}=0$，设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$，且$\vert\boldsymbol{b}\vert=m$，则$\vert\boldsymbol{a}\vert=\sqrt{2}\vert\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{2}m$，如图所示，根据题意可知，$CD$与$BE$交于$F$，则$B$，$F$，$E$三点共线，则存在实数$t$，使得$\overrightarrow{AF}=t\overrightarrow{AB}+(1 - t)\overrightarrow{AE}=t\boldsymbol{a}+\frac{3}{4}(1 - t)\boldsymbol{b}$。根据题意可知，$CD$与$BE$交于$F$，则$C$，$F$，$D$三点共线，则存在实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{AC}+(1 - \lambda)\overrightarrow{AD}=\lambda\boldsymbol{b}+\frac{2}{3}(1 - \lambda)\boldsymbol{a}$，所以$t\boldsymbol{a}+\frac{3}{4}(1 - t)\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{b}+\frac{2}{3}(1 - \lambda)\boldsymbol{a}$，则$\begin{cases}t = \frac{2}{3}(1 - \lambda)\frac{3}{4}(1 - t)=\lambda\end{cases}$解得$t = \frac{1}{3}$，$\lambda = \frac{1}{2}$，所以$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\frac{1}{3}\boldsymbol{a}$，且$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$。因为$\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{BC}=0$，所以$\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{BC}=(\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\frac{1}{3}\boldsymbol{a})·(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=\frac{1}{2}\boldsymbol{b}^{2}-\frac{1}{6}\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}^{2}=\frac{1}{2}m^{2}-\frac{2}{3}m^{2}-\frac{1}{6}\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=0$，解得$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=-m^{2}$，所以$\cos\angle BAC=\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{b}\vert}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，因为$\angle BAC=\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle\in[0,\pi]$，所以$\angle BAC=\frac{3\pi}{4}$。
　　　　

4. [多选题，2024江西景德镇期中]已知向量$\boldsymbol{a} = (\sin \alpha,\frac{1}{2}),\boldsymbol{b} = (\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \alpha)$，下列结论正确的是(BD)

A.若$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b},\alpha \in [0,\pi]$，则$\alpha = \frac{2\pi}{3}$
B.若$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = \frac{1}{3}$，则$\sin(2\alpha + \frac{5\pi}{6}) = \frac{7}{9}$
C.若$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b},\alpha \in [0,\pi]$，则$\alpha = \frac{\pi}{3}$
D.若$|\boldsymbol{a}| ＞ |\boldsymbol{b}|,\alpha \in [0,\pi]$，则$\alpha \in (\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$

答案： 4.BD对于A，若$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha+\frac{1}{2}\cos\alpha=\sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=0$，$\alpha\in[0,\pi]$，则$\alpha+\frac{\pi}{6}=\pi$，所以$\alpha=\frac{5\pi}{6}$，故A错误；对于B，若$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\frac{1}{3}$，则$\sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{3}$，而$\sin(2\alpha+\frac{5\pi}{6})=\sin[2(\alpha+\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{2}]=\cos[2(\alpha+\frac{\pi}{6})]=1 - 2\sin^{2}(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{7}{9}$，故B正确；对于C，若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}$，故$\sin2\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\alpha\in[0,\pi]$，则$2\alpha=\frac{\pi}{3}$或$\frac{2\pi}{3}$，所以$\alpha=\frac{\pi}{6}$或$\frac{\pi}{3}$，故C错误；对于D，若$\vert\boldsymbol{a}\vert＞\vert\boldsymbol{b}\vert$，则$\sin^{2}\alpha+\frac{1}{4}＞\cos^{2}\alpha+\frac{3}{4}$，可得$\cos2\alpha＜-\frac{1}{2}$，$2\alpha\in[0,2\pi]$，所以$2\alpha\in(\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3})$，故$\alpha\in(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$，故D正确。

5. [2023河南南阳期末]已知$G$为$\triangle ABC$的重心，且$|\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB}| = |\overrightarrow{GA} - \overrightarrow{GB}|$，当$C$取得最大值时，$\cos C =$$\frac{4}{5}$.

答案：
5.$\frac{4}{5}$ 如图，由题意$\vert\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}\vert=\vert\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}\vert$，所以$(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})^{2}=(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB})^{2}$，即$\overrightarrow{GA}^{2}+\overrightarrow{GB}^{2}+2\overrightarrow{GA}·\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}^{2}+\overrightarrow{GB}^{2}-2\overrightarrow{GA}·\overrightarrow{GB}$，所以$\overrightarrow{GA}·\overrightarrow{GB}=0$，所以$AG\perp BG$。又$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})$，$\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$，则$\overrightarrow{AG}·\overrightarrow{BG}=\frac{1}{9}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})·(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{9}(\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{BC})=0$，即$ab\cos C=bc\cos A+ac\cos B+c^{2}$，由$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$，$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$，$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$，所以$a^{2}+b^{2}=5c^{2}$，所以$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{2}{5}(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})\geq\frac{4}{5}\sqrt{\frac{a}{b}·\frac{b}{a}}=\frac{4}{5}$，当且仅当$a = b$时等号成立，又$y = \cos x$在$(0,\pi)$上单调递减，$C\in(0,\pi)$，所以当$C$取得最大值时，$\cos C=\frac{4}{5}$。