《2025年小题狂做高中数学必修第二册人教版巅峰版》

7. [2024 浙江杭州期中]如图,在四面体 $ A - BCD $ 中,$ AC = 2 $,$ BD = \sqrt{2} $.若 $ AC $ 与 $ BD $ 所成的角为 $ 45^{\circ} $,$ M,N $ 分别为 $ AB,CD $ 的中点,则线段 $ MN $ 的长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{10}}{2}$.

答案：
7. $\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{10}}{2}$ 如图，取$BC$的中点为$E$，连接$EM,EN$.

因为$M,E$分别为$AB,BC$的中点，所以$ME // AC$且$ME = \frac{1}{2}AC = 1$，同理可得$EN // BD$且$EN = \frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\angle MEN$为异面直线$AC$与$BD$所成的角或其补角，则$\angle MEN = 45^{\circ}$或$135^{\circ}$.在$\triangle MEN$中，$ME = 1,EN = \frac{\sqrt{2}}{2}$.若$\angle MEN = 45^{\circ}$，则由余弦定理可得$MN = \sqrt{EM^{2} + EN^{2} - 2EM · EN\cos 45^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$；若$\angle MEN = 135^{\circ}$，则由余弦定理可得$MN = \sqrt{EM^{2} + EN^{2} - 2EM · EN\cos 135^{\circ}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.综上所述，$MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{10}}{2}$.

8. 如图,$ ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} $ 是正方体,在图 1 中,$ E,F $ 分别是 $ C_{1}D_{1},BB_{1} $ 的中点,画出图 1、图 2 中有阴影的平面与平面 $ ABCD $ 的交线,并给出证明.

答案：
8. 解：在图1中，设$N$为$CD$的中点，连接$NE,NB$，则$EN // BF$，所以$B,N,E,F$四点共面.所以$EF$与$NB$的延长线相交，设交点为$M$，连接$AM$.因为$M \in EF$，且$M \in NB$，$EF \subset$平面$AEF$，$NB \subset$平面$ABCD$，所以$M$是平面$ABCD$与平面$AEF$的公共点.又因为$A$是平面$ABCD$和平面$AEF$的公共点，所以$AM$为两平面的交线.在图2中，延长$DC$到点$M$，使$CM = DC$，连接$BM,C_{1}M,CD_{1}$，则$C_{1}M // D_{1}C // A_{1}B$，所以$M$在平面$A_{1}BC_{1}$内.又因为$M$在平面$ABCD$内，所以$M$是平面$A_{1}BC_{1}$与平面$ABCD$的公共点，又$B$是平面$A_{1}BC_{1}$与平面$ABCD$的公共点，所以$BM$是平面$A_{1}BC_{1}$与平面$ABCD$的交线.