《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例 4
已知函数 $ f ( x ) = \dfrac { 3 } { 2 } - \dfrac { 3 } { 2 ^ { x } + 1 } $。
(1) 判断 $ f ( x ) $ 的奇偶性，并说明理由；
(2) 当 $ x \in [ 1, 2 ] $ 时，求 $ f ( x ) $ 的值域。

答案： 解：
(1)$f(x)$ 为奇函数，理由如下：
由题意知，$f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，关于原点对称.
由 $f(x)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2^{x}+1}=\frac{3·2^{x}-3}{2(2^{x}+1)}$
得 $f(-x)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2^{-x}+1}=\frac{3·2^{-x}-3}{2(2^{-x}+1)}=\frac{3-3·2^{x}}{2(2^{x}+1)}$
所以 $f(x)=-f(-x)$，故 $f(x)$ 为奇函数.
(2)$f(x)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2^{x}+1}$，因为函数 $y=2^{x}+1$ 在 $[1,2]$ 上是增函数，所以函数 $y=-\frac{3}{2^{x}+1}$ 在 $[1,2]$上是增函数，故函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上是增函数，且 $f(1)=\frac{1}{2},f(2)=\frac{9}{10}$，所以 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的值域为 $[\frac{1}{2},\frac{9}{10}]$

已知函数 $ f ( x ) = 2 ^ { x } + a · 2 ^ { - x } $ 是定义在 $ \mathbf { R } $ 上的偶函数。
(1) 求 $ a $ 的值，并证明函数 $ f ( x ) $ 在 $ [ 0, + \infty ) $ 上单调递增；
(2) 求函数 $ h ( x ) = f ( x ) + f ( 2 x ) $，$ x \in [ 0, 1 ] $ 的值域。

答案： 解：
(1)因为函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上为偶函数，所以 $f(x)=f(-x)$，即 $2^{x}+a·2^{-x}=2^{-x}+a·2^{x}$，$(1-a)(2^{x}-2^{-x})=0$ 恒成立，即 $a=1$.所以 $f(x)=2^{x}+2^{-x}$，
对任意的 $0\leq x_{1}＜x_{2}$，
$f(x_{1})-f(x_{2})=(2^{x_{1}}+2^{-x_{1}})-(2^{x_{2}}+2^{-x_{2}})$
$=(2^{x_{1}}-2^{x_{2}})(2^{x_{1}+x_{2}}-1)\over{2^{x_{1}+x_{2}}}$
因为 $0\leq x_{1}＜x_{2}$，$2^{x_{1}}＜2^{x_{2}}$，$2^{x_{1}+x_{2}}＞0$，$2^{x_{1}+x_{2}}-1＞0$，所以 $f(x_{1})＜f(x_{2})$，$f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上是单调递增函数.
(2)函数 $h(x)=f(x)+f(2x)=2^{x}+2^{-x}+2^{2x}+2^{-2x}=(2^{x}+2^{-x})^{2}+(2^{x}+2^{-x})-2$.
令 $t(x)=2^{x}+2^{-x}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}}$，因为 $x\in[0,1]$，所以 $t\in[2,\frac{5}{2}]$，令 $\varphi(t)=t^{2}+t-2$，故函数 $\varphi(t)$ 在 $[2,\frac{5}{2}]$ 上单调递增，当 $t=2$ 时，$h(x)_{\min}=\varphi(2)=4$；当 $t=\frac{5}{2}$ 时，$h(x)_{\max}=\varphi(\frac{5}{2})=\frac{27}{4}$.则函数 $h(x)$ 的值域为 $[4,\frac{27}{4}]$.

1. 函数 $ f ( x ) = \sqrt { 4 - 2 ^ { x } } $ 的定义域为（ ）

A.$ [ 0, 2 ] $
B.$ [ 2, 4 ] $
C.$ ( - \infty, 2 $
D.$ 2, + \infty ) $

答案： C

2. 函数 $ y = 2 ^ { x - 1 } - 2 ( x \leq 2 ) $ 的值域为（ ）

A.$ \left( - \dfrac { 3 } { 2 }, + \infty \right) $
B.$ ( - \infty, 0 $
C.$ ( - 2, 0 $
D.$ \left( - \infty, - \dfrac { 3 } { 2 } \right) $

答案： C

3. 设 $ y _ { 1 } = 4 ^ { 0.9 } $，$ y _ { 2 } = 8 ^ { 0.48 } $，$ y _ { 3 } = \left( \dfrac { 1 } { 2 } \right) ^ { - 1.5 } $，则 $ y _ { 1 } $，$ y _ { 2 } $，$ y _ { 3 } $ 的大小关系为（ ）

A.$ y _ { 3 } ＞ y _ { 1 } ＞ y _ { 2 } $
B.$ y _ { 2 } ＞ y _ { 1 } ＞ y _ { 3 } $
C.$ y _ { 1 } ＞ y _ { 2 } ＞ y _ { 3 } $
D.$ y _ { 1 } ＞ y _ { 3 } ＞ y _ { 2 } $

答案： D

4. 设函数 $ f ( x ) = 2 ^ { x } - 2 ^ { - x } $，则使得 $ f ( x ^ { 2 } ) + f ( 2 x - 3 ) ＜ 0 $ 成立的 $ x $ 的解集是______。

答案： (-3,1)