《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

(2) 已知函数 $ f ( x ) = x ^ { 2 } - 4 x + 5 $，若关于 $ x $ 的方程 $ [ f ( x ) ] ^ { 2 } + m f ( x ) + 4 = 0 $ 有四个不相等的实数根，则实数 $ m $ 的取值范围是____.

答案：
(2)(-5,-4)

典例 3
已知函数 $ f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } - 3 x + 2, x ＞ 0, } \\ { \mathrm { e } ^ { x } + 1, x \leq 0. } \end{array} \right. $
(1) 若 $ f ( a ) = 1 $，求实数 $ a $ 的值；
(2) 若关于 $ x $ 的方程 $ f ( x ) - m = 0 $ 恰有三个解，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案：
典例3 解：
(1)当$a＞0,f(a)=1$，即$a^{2}-3a + 2 = 1$，解得$a=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$，均满足条件.
当$a\leq0$时，因为$e^{a}＞0,e^{a}+1＞1$，所以$f(a)=1$无解.故$a=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$.
(2)在同一坐标系内分别作出$y_1 = f(x)$和$y_2 = m$的图象如图所示.
当$x\leq0$时，$f(x)$单调递增，$1＜f(x)\leq2$；
当$x＞0$时，$f(x)=(x - \frac{3}{2})^{2}-\frac{1}{4}$，
则其在$(0,\frac{3}{2}$上单调递减，在$(\frac{3}{2},+\infty)$上单调递增，
$f(\frac{3}{2})=-\frac{1}{4}$.
故当$1＜m＜2$时，方程$f(x)-m = 0$恰有三个解，即实数$m$的取值范围是$(1,2)$.

(2025·江苏盐城高一期末) 已知函数 $ f ( x ) = 4 ^ { x } - a · 2 ^ { x } + 3 ( a \in \mathbf { R } ) $.
(1) 若 $ a = 2 $，当 $ x \in [ - 1, 2 ] $ 时，求函数 $ f ( x ) $ 的值域；
(2) 若关于 $ x $ 的方程 $ f ( x ) = 0 $ 在区间 $ ( 0, 2 ) $ 上有两个不相等的实根，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 对点练3.解：
(1)当$a = 2$时，$f(x)=4^{x}-2×2^{x}+3$.设$2^{x}=t$，
因为$x\in[-1,2]$，所以$t\in[\frac{1}{2},4]$.
则$y = t^{2}-2t + 3,t\in[\frac{1}{2},4]$.
因为该函数在$[\frac{1}{2},1]$上单调递减，在$[1,4]$上单调递增，
且$t=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{4}-1 + 3=\frac{9}{4}$，$t = 1\Rightarrow y=1 - 2 + 3 = 2$，$t = 4\Rightarrow y=16 - 8 + 3 = 11$，
所以所求函数的值域为$[2,11]$.
(2)设$2^{x}=t$，因为$x\in(0,2)$，所以$t\in(1,4)$.即方程$t^{2}-at + 3 = 0$在$(1,4)$上有两个不相等的实根.所以$\begin{cases} \Delta = a^{2}-12＞0,\\ 1＜\frac{a}{2}＜4,\\ 1 - a + 3＞0,\\ 16 - 4a + 3＞0.\end{cases}\Rightarrow2\sqrt{3}＜a＜4$.
所以实数$a$的取值范围是$(2\sqrt{3},4)$.

1. 二次函数 $ y = x ^ { 2 } + ( m - 3 ) x + 2 m $ 的图象与 $ x $ 轴的两个交点的横坐标分别为 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $，且 $ 0 ＜ x _ { 1 } ＜ 2 ＜ x _ { 2 } $，如图所示，则实数 $ m $ 的取值范围是（ ）


A.$ m ＞ 0 $
B.$ m ＞ \frac { 1 } { 2 } $
C.$ 0 ＜ m ＜ \frac { 1 } { 2 } $，或 $ m ＞ 5 $
D.$ 0 ＜ m ＜ \frac { 1 } { 2 } $

答案： 1.D

2. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ( x - 1 ) ( x - 4 ) = a $ 有实数根 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $，且 $ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } $，则下列结论中错误的是（ ）

A.当 $ a = 0 $ 时，$ x _ { 1 } = 1 $，$ x _ { 2 } = 4 $
B.当 $ a ＞ 0 $ 时，$ 1 ＜ x _ { 1 } x _ { 2 } ＜ 4 $
C.当 $ a ＞ 0 $ 时，$ x _ { 1 } ＜ 1 ＜ 4 ＜ x _ { 2 } $
D.当 $ - \frac { 9 } { 4 } ＜ a ＜ 0 $ 时，$ 4 ＜ x _ { 1 } x _ { 2 } ＜ \frac { 25 } { 4 } $

答案： 2.B

3. 已知函数 $ f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { | 2 ^ { x } - 1 |, x ＜ 2, } \\ { \frac { 6 } { x }, x \geq 2, } \end{array} \right. $ 若方程 $ f ( x ) - a = 0 $ 恰有三个不同的实数根，则实数 $ a $ 的取值范围为（ ）

A.$ ( 0, 1 ) $
B.$ ( 0, 2 ) $
C.$ ( 0, 3 ) $
D.$ ( 1, 3 ) $

答案： 3.A

4. 已知函数 $ f ( x ) = \ln x + x - 3 $，$ g ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } + x - 3 $（其中 $ \mathrm { e } $ 为自然对数的底数）. 设 $ m $，$ n $ 分别为 $ f ( x ) $，$ g ( x ) $ 的零点，则 $ \mathrm { e } ^ { n } + \ln m = $____.

答案： 4.3