《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

(1)已知函数 $ f(x) $ 的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )


A.$ 4,4 $
B.$ 3,4 $
C.$ 5,4 $
D.$ 4,3 $

答案：
(1)D
(1)图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选D.

(2)用二分法研究函数 $ f(x) = x^5 + 8x^3 - 1 $ 的零点时，第一次经过计算得 $ f(0) ＜ 0 $，$ f(0.5) ＞ 0 $，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为( )

A.$ (0,0.5) $，$ f(0.125) $
B.$ (0,0.5) $，$ f(0.25) $
C.$ (0.5,1) $，$ f(0.75) $
D.$ (0,0.5) $，$ f(0.375) $

答案：
(2)B
(2)因为 $f(0) f(0.5)＜0$，由零点存在定理知：零点 $x_0 \in (0,0.5)$，根据二分法，第二次应计算 $f\left(\frac{0+0.5}{2}\right)$，即 $f(0.25)$. 故选B.

问题 2. 依据二分法的思想，你能想办法求函数 $ f(x) = x^3 - 3 $ 的近似解吗？并思考最终结果如何确定.

答案： 问题2.由于 $f(1)=-2＜0, f(2)=5＞0$，因此可以确定区间$[1,2]$作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点的横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
$a_0 =1, b_0 =2$ $f(1)=-2, f(2)=5$ $[1,2]$
$x_0=\frac{1+2}{2}=1.5$ $f(x_0)=0.375＞0$ $[1,1.5]$
$x_1=\frac{1+1.5}{2}=1.25$ $f(x_1) \approx -1.046 9＜0$ $[1.25,1.5]$
$x_2=\frac{1.25+1.5}{2}=1.375$ $f(x_2) \approx -0.400 4＜0$ $[1.375,1.5]$
$x_3=\frac{1.375+1.5}{2}=1.437 5$ $f(x_3) \approx -0.029 5＜0$ $[1.437 5,1.5]$

典例 2
（多选题）某同学求函数 $ f(x) = \ln x + 2x - 6 $ 的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程 $ \ln x + 2x - 6 = 0 $ 的近似解（精确度为 0.1）可取为（ ）

A.$ 2.51 $
B.$ 2.56 $
C.$ 2.66 $
D.$ 2.78 $

答案： AB 因为函数$f(x)=\ln x + 2x - 6$在其定义域上单调递增，结合表格可知，方程$\ln x + 2x - 6 = 0$的近似解在$(2.5,3),(2.5,2.75)$,$(2.5,2.562 5)$内，又精确度为0.1，所以方程$\ln x + 2x - 6 = 0$的近似解(精确度为0.1)可取为2.51,2.56.故选AB.

(1)用二分法研究函数 $ f(x) = x^2 + 3x - 1 $ 的零点时，第一次经过计算发现 $ f(0) ＜ 0 $，$ f(0.5) ＞ 0 $，可得其中一个零点 $ x_0 \in (0,0.5) $，则第二次需计算函数值( )

A.$ f(1) $
B.$ f(-0.5) $
C.$ f(0.25) $
D.$ f(0.125) $

答案：
(1)C
(1)由题意知，第一次经过计算发现$f(0)＜0$，$f(0.5)＞0$，可得其中一个零点$x_0 \in (0,0.5)$，由于$\frac{1}{2}(0+0.5)=0.25$，则第二次需计算$f(0.25)$.故选C.

(2)用二分法求函数 $ f(x) = x^3 + x^2 - 2x - 2 $ 的一个零点的近似值(精确度为 0.1)时，依次计算得到如下数据：$ f(1) = -2 $，$ f(1.5) = 0.625 $，$ f(1.25) \approx -0.984 $，$ f(1.375) \approx -0.260 $，则下列说法正确的是( )

A.函数 $ f(x) $ 在 $ (1.25,1.5) $ 上不一定有零点
B.已经达到精确度，可以取 1.375 作为近似值
C.没有达到精确度，应该接着计算 $ f(1.3125) $
D.没有达到精确度，应该接着计算 $ f(1.4375) $

答案：
(2)D
(2)对于A，由$f(1.25) · f(1.5)＜0$，且$f(x)$连续，则根据函数零点存在定理知，$f(x)$在$(1.25,1.5)$上一定有零点，故A错误；对于B，C，D，$1.5-1.375=0.125＞0.1$，没有达到精确度的要求，应该接着计算$f(1.437 5)$，故B错误，C错误，D正确.故选D.