《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

问题 2. 如果某月某公司员工甲比乙的薪水高,公司又给他们发了相同数额的奖金,那么这个月甲和乙谁的收入更高? 扣除了相同数额的保险费用后呢? 你能提炼出什么不等关系?

答案： 问题2.甲比乙的收入高，扣除相同数额的保险费用后仍然是甲比乙的收入高.若$a＞b$，则$a-c＞b-c$. 

问题 3. 若甲班的男生比乙班多,甲班的女生也比乙班多,则甲班的人数比乙班多. 这里反映出的不等关系如何用符号语言表述?

答案： 问题3.若$a＞b,c＞d$，则$a+c＞b+d$.

答案： 1. $＞$
2. $＞$
3. $ac＞bc$；$ac ＜ bc$
4. $a + c＞b + d$
5. $ac＞bd$；$＞$
6. $＞$

[微思考] (1) 同向不等式相加与相乘的条件是一致的吗?
(2) 若 $a ＞ b,c ＞ d$,那么 $ac ＞ bd$ 成立吗?
(3) 若 $a$ 与 $b$ 同号,且 $a ＞ b$,那么 $\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$ 吗?

答案： 1. 对于同向不等式相加与相乘的条件：
同向不等式相加的条件：$a\gt b$，$c\gt d$，则$a + c\gt b + d$，没有其他限制条件（只要$a,b,c,d\in R$）。
同向不等式相乘的条件：$a\gt b\gt0$，$c\gt d\gt0$，则$ac\gt bd$。所以同向不等式相加与相乘的条件不一致。
2. 若$a\gt b$，$c\gt d$，那么$ac\gt bd$不一定成立：
例如$a = 3$，$b = 1$，$c=-1$，$d=-2$，此时$a\gt b$，$c\gt d$，但$ac=3×(-1)=-3$，$bd = 1×(-2)=-2$，而$-3\lt - 2$，即$ac\lt bd$。
3. 若$a$与$b$同号，且$a\gt b$：
当$a\gt b\gt0$时，$ab\gt0$，$a - b\gt0$，$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b - a}{ab}\lt0$，所以$\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}$；
当$0\gt a\gt b$时，$ab\gt0$，$b - a\lt0$，$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b - a}{ab}\lt0$，所以$\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}$。
综上：
(1) 不一致；
(2) 不一定成立；
(3) $\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}$。

典例 2
(1) (多选题) 下列命题是真命题的为 ( )
A.若 $a ＞ b ＞ 0 ＞ c ＞ d$,则 $ab ＞ cd$
B.若 $a ＞ b$,则 $ac^2 ＞ bc^2$
C.若 $a ＞ b ＞ 0$ 且 $c ＜ 0$,则 $\frac{c}{a^2} ＞ \frac{c}{b^2}$
D.若 $a ＞ b$ 且 $\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$,则 $ab ＜ 0$

答案：
(1)CD；
 

(2) (链教材 P26 例 3) 已知 $a ＞ b ＞ c ＞ 0$,求证: $\frac{a - c}{b} ＞ \frac{b - c}{a}$.

答案：
(2)证明：因为$a＞b＞c＞0$，所以$a-c＞b-c＞0$，所以$\frac{1}{b-c}＞\frac{1}{a-c}＞0$，可得$\frac{a}{b-c}＞\frac{b}{a-c}＞0$，即$\frac{a-c}{b}＞\frac{b-c}{a}$，得证.