《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例3 已知 $ p $：$ -2 \leq x \leq 10 $，$ q $：$ 1 - m \leq x \leq 1 + m (m ＞ 0) $，若 $ p $ 是 $ q $ 的必要不充分条件，求实数 $ m $ 的取值范围.
听课笔记：
[变式探究]
1.（变条件）若将本例中“$ p $ 是 $ q $ 的必要不充分条件”改为“$ p $ 是 $ q $ 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数 $ m $ 的取值范围.
2.（变设问）本例中 $ p, q $ 不变，是否存在实数 $ m $，使 $ p $ 是 $ q $ 的充要条件？若存在，求出 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由.
规律方法
利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.

答案： $\{m\mid0＜m\leqslant3\}$
@@1.$\{m\mid m\geqslant9\}$2.不存在，理由见解析

对点练3. (1) 集合 $ A = \{ -1, 1, 3, 5 \} $，集合 $ B = \{ a, 1, 3, 5 \} $，若“$ x \in A $”是“$ x \in B $”的充要条件，则 $ a = $（ ）
A.0
B.-1
C.3
D.5

答案：
(1)B
 

(2) 已知集合 $ A = [-1, 2] $ 与集合 $ B = [1 - m, 1 + m] $. 若“$ x \in B $”是“$ x \in A $”的充分不必要条件，则实数 $ m $ 的取值范围是（ ）
A.$ (-\infty, 1) $
B.$ (-\infty, 1] $
C.$ (0, 1] $
D.$ [0, 1] $

答案：
(2)C

1. “三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的( )

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： C

2. “方程 $ x^{2} - 2x + m = 0 $ 至多有一个实数解”的一个充要条件是( )

A.$ m \geq 1 $
B.$ m \leq 1 $
C.$ m \geq 2 $
D.$ m \geq 0 $

答案： A

3. 已知集合 $ M $ 和集合 $ N $，那么 $ M \cap N = N $ 的充要条件是( )

A.$ M \subseteq N $
B.$ N \subsetneqq M $
C.$ M \supseteq N $
D.$ M = N $

答案： C

4. 已知集合 $ A = \{ x | 1 ＜ x ＜ 3 \} $，集合 $ B = \{ x | 2m ＜ x ＜ 1 - m \} $，若 $ A $ 是 $ B $ 的必要不充分条件，则 $ m $ 的取值范围为.

答案： 1. 首先明确必要不充分条件与集合的关系：
因为$A$是$B$的必要不充分条件，所以$B\subsetneqq A$。
分两种情况讨论：
情况一：当$B = \varnothing$时，满足$B\subsetneqq A$。
对于集合$B=\{x|2m\lt x\lt1 - m\}$，若$B = \varnothing$，则$2m\geq1 - m$。
解不等式$2m\geq1 - m$，移项可得$2m + m\geq1$，即$3m\geq1$，解得$m\geq\frac{1}{3}$。
情况二：当$B\neq\varnothing$时：
则$\begin{cases}2m\lt1 - m\\2m\geq1\\1 - m\leq3\end{cases}$。
解不等式$2m\lt1 - m$，移项得$2m+m\lt1$，即$3m\lt1$，解得$m\lt\frac{1}{3}$；
解不等式$2m\geq1$，解得$m\geq\frac{1}{2}$；
解不等式$1 - m\leq3$，移项得$-m\leq3 - 1$，即$-m\leq2$，解得$m\geq - 2$。
此时不等式组$\begin{cases}m\lt\frac{1}{3}\\m\geq\frac{1}{2}\\m\geq - 2\end{cases}$没有公共解。
2. 然后综合两种情况：
综上，$m$的取值范围是$\frac{1}{3},+\infty)$。
故答案为：$\frac{1}{3},+\infty)$。