《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

(1)已知 $x_{0}$ 是函数 $f(x)=(\frac{1}{3})^{x}-x + 3$ 的一个零点，则 $x_{0}\in$ ( )

A.$(1,2)$
B.$(2,3)$
C.$(3,4)$
D.$(4,5)$

答案：
(1)C
(1)根据题意知函数$f(x)=(\frac{1}{3})^{-x}+3$在区间$(1,+\infty)$上单调递减，因为$f(1)＞f(2)＞f(3)＞0,f(4)＜0,f(x)=(\frac{1}{3})^{-x}+3$在$(1,+\infty)$上是连续不断的，所以根据零点存在定理可得存在$x_{0}\in(3,4)$，使得$f(x_{0}) = 0$.故选C.

(2)根据表格中的数据，可以判断方程 $e^{x}-x - 2 = 0$ 的一个根所在的区间是 ( )

A.$(-1,0)$
B.$(0,1)$
C.$(1,2)$
D.$(2,3)$

答案：
(2)C
(2)设$f(x)=e^{x}-x - 2$由表格中的数据得，$f(-1)=-0.634＜0,f(0)= - 1＜0,f(1)= - 0.28＜0,f(2)=3.39＞0,f(3)=15.09＞0$，所以$f(1)f(2)＜0$，又$f(x)$的图象是连续不断的，所以$f(x)$在$(1,2)$内有零点.故选C.

典例 3
判断下列函数零点的个数：
（1）$f(x)=x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{5}{8}$；
（2）（一题多解）$f(x)=\ln x + x^{2}-3$.

答案：
典例3 解：
(1)由$f(x)=0$，即$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{5}{8}=0$，
得$\Delta=(-\frac{3}{4})^{2}-4×\frac{5}{8}=-\frac{31}{16}＜0$，
所以方程$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{5}{8}=0$没有实数根，即$f(x)$零点的个数为$0$.
(2)法一：函数对应的方程为$\ln x+x^{2}-3 = 0$，所以原函数零点的个数即为函数$y = \ln x$与$y = 3 - x^{2}$的图象交点个数.
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象（如图）.由图象知，函数$y = 3 - x^{2}$与$y = \ln x$的图象只有一个交点.从而方程$\ln x+x^{2}-3 = 0$只有一个根，即函数$y = \ln x+x^{2}-3$有一个零点.

法二：由于$f(1)=\ln 1+1^{2}-3=-2＜0,f(2)=\ln 2+2^{2}-3=\ln 2 + 1＞0$，所以$f(1)· f(2)＜0$，又$f(x)=\ln x+x^{2}-3$的图象在$(1,2)$上是不间断的，
所以$f(x)$在$(1,2)$上必有零点，又$f(x)$在$(0,+\infty)$上是单调递增的，所以零点只有一个.

（变条件）将本例（2）中的函数改为“$f(x)=2^{x}+\lg(x + 1)-2$”，试判断零点的个数.
规律方法
判断函数零点个数的常用方法
1. 利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点.
2. 画出函数 $y = f(x)$ 的图象，判定它与 $x$ 轴的交点个数，从而判定零点的个数.
3. 结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定 $y = f(x)$ 在 $(a,b)$ 内零点的个数.
4. 转化成两个函数图象的交点个数问题.

答案：
[变式探究] 解：
法一：因为$f(0)=1 + 0 - 2=-1＜0$，$f(1)=2+\lg 2 - 2＞0$，
所以由零点存在定理可知函数$f(x)$在$(0,1)$上必定存在零点.
又显然$f(x)=2^{x}+\lg(x + 1)-2$在$(-1,+\infty)$上为增函数，故函数$f(x)$有且只有一个零点.
法二：在同一坐标系下作出$h(x)=2 - 2^{x}$和$g(x)=\lg(x + 1)$的草图：
由图象知$g(x)=\lg(x + 1)$的图象和$h(x)=2 - 2^{x}$的图象有且只有一个交点，即$f(x)=2^{x}+\lg(x + 1)-2$有且只有一个零点.

(1)已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：

判断函数的零点个数至少有 ( )

A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

答案：
(1)C
(1)在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$的图象是连续不断的，由数值表知$f(2)＞0,f(3)＜0,f(4)＞0,f(5)＜0$，因此函数$f(x)$在区间$(2,3),(3,4),(4,5)$上分别至少有$1$个零点，所以函数$f(x)$的零点个数至少为$3$个.故选C.

(2)设函数 $f(x)=\begin{cases}|\log_{2}x|-1,x ＞ 0, \\ 2^{x}+x,x\leq 0,\end{cases}$ 则 $f(x)$ 的零点个数为 ( )

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案：
(2)D
(2)当$x ＞ 0$时，令$|\log_{2}x|-1 = 0$，所以$x = 2$或$x=\frac{1}{2}$，$f(x)$有$2$个零点；当$x\leqslant 0$时，令$2^{x}+x = 0$，即$2^{x}=-x$，结合函数$y = 2^{x},y = -x$的图象可知二者在$x\leqslant 0$时有$1$个交点，即此时$f(x)$有$1$个零点.综上可知，$f(x)$的零点个数为$3$.故选D.

典例 4
（1）已知 $f(x)=\begin{cases}3x - 3,x ＞ 0, \\ (\frac{1}{2})^{x}-1,x\leq 0,\end{cases}$ 若函数 $g(x)=f(x)-a$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为____.

答案：
典例4
(1)$0,+\infty)$
 
(1)令$g(x)=f(x)-a = 0$，则$f(x)=a$，因为$g(x)$有两个零点，所以$y = f(x)$与$y = a$的图象有两个交点，作出$y = f(x)$的图象，如图所示.由图可得实数$a$的取值范围为$0,+\infty)$.

 

（2）若函数 $f(x)=ax^{2}-x - 1$ 有且仅有一个零点，则实数 $a$ 的所有可能取值构成的集合为____.

答案：
(2)当$a = 0$时，函数$f(x)=-x - 1$为一次函数，则$-1$是函数的零点，即函数仅有一个零点；当$a\neq 0$时，函数$f(x)=ax^{2}-x - 1$为二次函数，由$f(x)$有且仅有一个零点，可得一元二次方程$ax^{2}-x - 1 = 0$有两个相等实根，所以$\Delta=1 + 4a = 0$，解得$a = -\frac{1}{4}$.综上，实数$a$的所有可能取值构成的集合为$\{0,-\frac{1}{4}\}$.