《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

问题 1. 观察下面的几个例子，请同学们说出它们之间的“包含”关系：
(1) $ A = \{ 1,2,3 \} $，$ B = \{ 1,2,3,4,5 \} $；
(2) $ C $ 为某中学高一 (2) 班全体女生组成的集合，$ D $ 为这个班全体学生组成的集合；
(3) $ A = \{ x | x = 2k,k \in \mathbf{Z} \} $，$ B = \{ $ 偶数 $ \} $.

答案： 问题1.
(1)集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.
(2)集合C包含于集合D，或集合D包含集合C.
(3)集合A包含集合B，集合B也包含集合A.

1. Venn 图
为了直观地表示集合间的关系，常用平面上____曲线的内部表示集合，称为 Venn 图.

答案： 1.封闭

2. 子集、真子集、集合相等

答案： ⊆；⊇；=；⊂；⊃

3. 子集的性质
(1) 任何一个集合都是它本身的____，即 $ A \subseteq A $.
(2) 规定：空集是任何集合的子集.
[微提醒] (1) 用 Venn 图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显. (2) 在真子集的定义中，$ A $，$ B $ 首先要满足 $ A \subseteq B $，且 $ A \neq B $. (3) 若出现 $ A \subseteq B $ 时，应讨论 $ A = \varnothing $ 和 $ A \neq \varnothing $ 两种情形. (4) 若 $ A \subseteq B $，且 $ B \subseteq C $，则 $ A \subseteq C $.

答案： 3.
(1)子集

典例 1
(1) (多选题) 下列表述正确的是 （ ）
A.$ \{ 2,1,0 \} \subseteq \{ 0,1,2 \} $
B.$ \{ (2,4) \} = \{ (4,2) \} $
C.$ \varnothing \subseteq \{ 0,1,2 \} $
D.$ 0 \subseteq \{ 0 \} $

答案：
(1)AC 对于A，因为任何集合是本身的子集，所以$\{2,1,0\} \subseteq \{0,1,2\}$，故A正确；对于B，$\{(2,4)\} \neq \{(4,2)\}$，故B错误；对于C，因为$\varnothing$是任何集合的子集，故C正确；对于D，因为元素与集合间的关系是“$\in$”与“$\notin$”，故D错误.故选AC.
 

(2) (链教材 P7 练习 T2) 判断下列各组中两个集合之间的关系：
① $ A = \{ -1,1 \} $，$ B = \{ (-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1) \} $；
② $ A = \{ x | x $ 是等边三角形 $ \} $，$ B = \{ x | x $ 是等腰三角形 $ \} $；
③ $ A = (-1,4) $，$ B = \{ x | x - 5 ＜ 0 \} $；
④ $ M = \{ x | x = 2n - 1,n \in \mathbf{N}_{+} \} $，$ N = \{ x | x = 2n + 1,n \in \mathbf{N}_{+} \} $.

答案：

(2)解:①集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故$A \subseteq B$.
③集合$B=\{x \mid x＜5\}$，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知$A \subseteq B$.

④由列举法知$M=\{1,3,5,7,·s\}$，$N=\{3,5,7,9,·s\}$，故$N \subseteq M$.