《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例 4 (1) 已知函数 $ h(x)=x^{2}-kx-8 $ 在 $ [5,10] $ 上是单调函数，则实数 $ k $ 的取值范围是（ ）
A.$ (-\infty,10] $
B.$ [20,+\infty) $
C.$ (-\infty,10] \cup [20,+\infty) $
D.$ \varnothing $

答案：
(1)C
 
(1)函数$h(x)=x^2 - kx - 8$的对称轴为$x=\frac{k}{2}$，
若函数$h(x)=x^2 - kx - 8$在$[5,10]$上是单调递增函数，则$\frac{k}{2}\leq5$；若函数$h(x)=x^2 - kx - 8$在$[5,10]$上是单调递减函数，则$\frac{k}{2}\geq10$，解得$k\leq10$或$k\geq20$，故实数$k$的取值范围是$(-\infty,10]\cup[20,+\infty)$。故选C。
 

(2) 已知函数 $ f(x)=2x^{2}-ax+1 $，$ x \in [-1,a] $，且 $ f(x) $ 的最大值为 $ f(a) $，则实数 $ a $ 的取值范围是（ ）
A.$ [1,+\infty) $
B.$ (-\infty,-1] \cup [2,+\infty) $
C.$ [2,+\infty) $
D.$ [3,+\infty) $

答案：
(2)由题意可得函数的对称轴方程为$x=\frac{a}{4}$，当$-1＜a\leq0$时，$f(x)$在$[-1,a]$上单调递减，则$f(x)_{\max}=f(-1)$，不符合题意；当$a＞0$时，要使$f(x)$的最大值为$f(a)$，则$f(a)\geq f(-1)$，即$2a^2 - a^2 + 1\geq2 + a + 1$，解得$a\leq-1$(舍去)，或$a\geq2$，所以实数$a$的取值范围是$[2,+\infty)$。故选C。

对点练 4. (1) 已知函数 $ f(x)=\begin{cases}x^{2}-2x,x \geq 0, \\ -x^{2}-2x,x＜0\end{cases} $ 在 $ (m,m+1) $ 上单调递增，则实数 $ m $ 的取值范围为（ ）

A.$ (-\infty,-2] \cup [1,+\infty) $
B.$ [-2,1] $
C.$ (-\infty,-1] \cup [2,+\infty) $
D.$ [-1,2] $

答案：

(1)A
(1)画出分段函数$f(x)=\begin{cases}x^2 - 2x,x\geq0\\ -x^2 - 2x,x＜0\end{cases}$的图象，

所以要使函数$f(x)$在$(m,m + 1)$上单调递增，则$m\geq1$或$m + 1\leq-1$，解得$m\geq1$或$m\leq-2$，所以实数$m$的取值范围为$(-\infty,-2]\cup[1,+\infty)$。故选A。

(2) 已知反比例函数 $ y=\frac{k}{x} $ 和 $ y=\frac{2+k}{x}(k＞0) $，当 $ 2 \leq x \leq 3 $ 时，函数 $ y=\frac{k}{x} $ 的最小值为 $ m-4 $，函数 $ y=\frac{2+k}{x} $ 的最大值为 $ m $，则 $ k $ 的值是________.

答案：
(2)18
(2)由$k＞0$可知当$2\leq x\leq3$时，函数$y=\frac{k}{x}$和$y=\frac{2 + k}{x}(k＞0)$均单调递减，所以当$x = 3$时函数$y=\frac{k}{x}=\frac{k}{3}$取最小值为$m - 4$；当$x = 2$时函数$y=\frac{2 + k}{x}=\frac{2 + k}{2}$取最大值为$m$，解得$m = 10,k = 18$。

1. $ y=\frac{1}{x-2}+1 $ 在 $ [3,4] $ 上的最大值为（ ）

A.$ 2 $
B.$ \frac{3}{2} $
C.$ \frac{5}{2} $
D.$ 4 $

答案： 1.A $y=\frac{1}{x - 2}+1$在$[3,4]$上是减函数，所以当$x = 3$时，取得最大值为$\frac{1}{3 - 2}+1 = 2$。故选A。

2. 已知函数 $ f(x) $ 在区间 $ 0,+\infty) $ 上是增函数，则 $ f(2) $，$ f(\pi) $，$ f(3) $ 的大小关系是（ ）

A.$ f(\pi)＞f(2)＞f(3) $
B.$ f(3)＞f(\pi)＞f(2) $
C.$ f(2)＞f(3)＞f(\pi) $
D.$ f(\pi)＞f(3)＞f(2) $

答案： 2.D 因为$f(x)$在区间$0,+\infty)$上为增函数，且$\pi＞3＞2$，所以$f(\pi)＞f(3)＞f(2)$。故选D。

3. 已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ 0,+\infty) $ 上的增函数，则满足 $ f(2x-1)＜f(\frac{1}{3}) $ 的 $ x $ 的取值范围是（ ）

A.$ [\frac{1}{3},\frac{2}{3}] $
B.$ \frac{1}{3},\frac{2}{3}) $
C.$ (\frac{1}{2},\frac{2}{3}) $
D.$ \frac{1}{2},\frac{2}{3}) $

答案： 3.D 由题意可知$\begin{cases}2x - 1\geq0\\2x - 1＜\frac{1}{3}\end{cases}$解得$x\in\frac{1}{2},\frac{2}{3})$。故选D。

4. 函数 $ y=ax+1 $ 在区间 $ [1,3] $ 上的最大值为 $ 4 $，则 $ a= $________.

答案： 4.1 由题意得，$a\neq0$。若$a＜0$，则函数$y = ax + 1$在区间$[1,3]$上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即$a + 1 = 4$，解得$a = 3$，不满足$a＜0$；若$a＞0$，则函数$y = ax + 1$在区间$[1,3]$上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即$3a + 1 = 4$，解得$a = 1$。综上，$a = 1$。