《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例 2（链教材 P139 例 5）
为了改善学校办公环境，某校计划购买 $ A $，$ B $ 两种型号的笔记本电脑共 15 台，已知 $ A $ 型笔记本电脑每台 5200 元，$ B $ 型笔记本电脑每台 6400 元，设购买 $ A $ 型笔记本电脑 $ x $ 台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用 $ y $ 元.
(1) 求出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(2) 若因为经费有限，学校预算不超过 9 万元，且购买 $ A $ 型笔记本电脑的数量不得比 $ B $ 型笔记本电脑数量的 2 倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用.

答案：
(1)因为购买A型笔记本电脑$x$台，所以购买B型笔记本电脑$(15 - x)$台，
所以$y = 5200x + 6400(15 - x)= - 1200x + 96000$，
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y = - 1200x + 96000$.
(2)因为学校预算不超过9万元，购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，
所以$\begin{cases}-1200x + 96000\leq90000\\x\leq2(15 - x)\end{cases}$，解得$5\leq x\leq10$，
而$x$为整数，故$x$可取$5,6,7,8,9,10$，学校共有6种购买方案.
由$y = - 1200x + 96000$，因为$-1200＜0$，
所以函数$y = - 1200x + 96000$单调递减，
又$5\leq x\leq10$且$x$为整数，所以当$x = 10$时，$y$有最小值，
最小值$y_{min}=-1200×10 + 96000 = 84000$，此时$15 - x = 5$.
故学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为84000元.

某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入 90 万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前 $ n $ 年($ n \in \mathbf{N}^{*} $)的材料费、维修费、人工工资等共 $ \left( \frac{5}{2}n^{2} + 5n \right) $ 万元，每年的销售收入为 55 万元，设使用该设备前 $ n $ 年的总盈利额为 $ f(n) $ 万元.
(1) 写出 $ f(n) $ 关于 $ n $ 的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利；
(2) 使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以 10 万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以 50 万元的价格处理.
根据方案一、方案二分别求出总利润，并选择哪种处理方案更合适？请说明理由.

答案：
(1)由题意得，
$f(n)=55n - (\frac{5}{2}n^{2}+5n)-90=-\frac{5}{2}n^{2}+50n - 90(n\in N_{+})$，
由$f(n)＞0$，得$-\frac{5}{2}n^{2}+50n - 90＞0$，即$n^{2}-20n + 36＜0$，
解得$2＜n＜18,n\in N_{+}$，
故该设备从第3年开始使企业盈利.
(2)方案一：由
(1)得，$f(n)=-\frac{5}{2}(n - 10)^{2}+160$，
当$n = 10$时，$f(n)_{max}=160$，
所以方案一总利润为$160 + 10 = 170$万元，此时$n = 10$.
方案二：由
(1)得，$f(n)=50-\frac{5}{2}(n+\frac{36}{n})\leq50-\frac{5}{2}×2\sqrt{36}=20$，当且仅当$n=\frac{36}{n}$，即$n = 6$时，等号成立.故方案二总利润为$6×20 + 50 = 170$万元，此时$n = 6$.
比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.