《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例 3
比较下列各组中两个数的大小：
(1) $ \left( \frac{2}{5} \right)^{0.5} $ 与 $ \left( \frac{1}{3} \right)^{0.5} $；
(2) $ \left( -\frac{2}{3} \right)^{-1} $ 与 $ \left( -\frac{3}{5} \right)^{-1} $；
(3) $ \left( \frac{3}{2} \right)^{\frac{3}{4}} $ 与 $ \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{3}{2}} $.

答案： 解：（1）因为幂函数$y = x^{0.5}$在$(0, + \infty)$上是增函数，又$\frac{2}{5} ＞ \frac{1}{3}$，所以$(\frac{2}{5})^{0.5} ＞ (\frac{1}{3})^{0.5}$．
（2）因为幂函数$y = \frac{1}{x}$在$( - \infty,0)$上是减函数，又$ - \frac{2}{3} ＜ - \frac{3}{5}$，所以$( - \frac{2}{3})^{- 1} ＞ ( - \frac{3}{5})^{- 1}$．
（3）因为函数$y_{1} = x^{\frac{3}{4}}$在$(0, + \infty)$上是增函数，又$\frac{3}{2} ＞ 1$，所以$(\frac{3}{2})^{\frac{3}{4}} ＞ 1^{\frac{3}{4}} = 1$．
又因为函数$y_{2} = x^{\frac{3}{4}}$在$(0, + \infty)$上是增函数，且$\frac{3}{4} ＜ 1$，所以$(\frac{3}{4})^{\frac{3}{4}} ＜ 1^{\frac{3}{4}} = 1$，所以$(\frac{3}{2})^{\frac{3}{4}} ＞ (\frac{3}{4})^{\frac{3}{4}}$．

比较下列各组中两个数的大小：
(1) $ -3.14^3 $ 与 $ -\pi^3 $；
(2) $ 3^{-3.5} $ 与 $ 0.5^{3.5} $；
(3) $ 4.1^{\frac{2}{5}} $ 与 $ 3.8^{-\frac{2}{3}} $.

答案： 解：（1）因为幂函数$y = x^{3}$在$R$上是增函数，且$3.14 ＜ \pi$，所以$3.14^{3} ＜ \pi^{3}$，所以$- 3.14^{3} ＞ - \pi^{3}$．
（2）因为$0.5^{3.5} = 2^{- 3.5}$，幂函数$y = x^{- 3.5}$在$(0, + \infty)$上是减函数，又$3 ＞ 2$，则$3^{- 3.5} ＜ 2^{- 3.5}$，即$3^{- 3.5} ＜ 0.5^{3.5}$．
（3）因为幂函数$y = x^{\frac{1}{4}}$在$(0, + \infty)$上是增函数，又$4.1 ＞ 1$，所以$4.1^{\frac{1}{4}} ＞ 1^{\frac{1}{4}} = 1$，又因为函数$y = x^{- \frac{1}{4}}$在$(0, + \infty)$上是减函数，且$3.8 ＞ 1$，所以$3.8^{- \frac{1}{4}} ＜ 1^{- \frac{1}{4}} = 1$，所以$4.1^{\frac{1}{4}} ＞ 3.8^{- \frac{1}{4}}$．

典例 4
已知幂函数 $ f(x) = (m^2 - 2m - 2)x^m $ 是 $ (0, +\infty) $ 上的增函数.
(1) 求实数 $ m $ 的值；
(2) 解不等式 $ (2 + x)^{\frac{m}{2}} ＜ (1 - x)^{\frac{m}{2}} $.

答案： 解：（1）由题意可知$\begin{cases} m^{2} - 2m - 2 = 1, \\m ＞ 0, \end{cases}$解得$m = 3$．
（2）由（1）得$(2 + x)^{\frac{1}{3}} ＜ (1 - x)^{\frac{1}{3}}$，因为$y = x^{\frac{1}{3}}$的定义域为$R$，且函数在$0, + \infty)$上单调递增，所以$\begin{cases} 2 + x \geqslant 0, \\1 - x \geqslant 0, \\2 + x ＜ 1 - x \end{cases}$解得$- 2 \leqslant x ＜ - \frac{1}{2}$，故原不等式的解集为$ - 2, - \frac{1}{2})$．

已知幂函数 $ f(x) = x^{\frac{4m - m^2}{2}} $($ m \in \mathbf{Z} $)的图象关于 $ y $ 轴对称，且 $ f(x) $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增.
(1) 求 $ m $ 的值及函数 $ f(x) $ 的解析式；
(2) 若 $ f(a - 2) ＜ f(1 + 2a) $，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 解：（1）由幂函数$f(x)$在$(0, + \infty)$上单调递增知，$\frac{4m - m^{2}}{4} ＞ 0$，解得$0 ＜ m ＜ 4$，又$m \in \mathbf{Z}$，则$m = 1,2,3$．
当$m = 1$或$m = 3$时，$f(x) = x^{\frac{1}{4}}$，不符合$f(x)$的图象关于$y$轴对称，故舍去．
当$m = 2$时，$f(x) = x^{2}$，图象关于$y$轴对称，符合题意．
综上所述，$f(x) = x^{2}$．
（2）由（1）得$f(x) = x^{2}$，为偶函数，且在$0, + \infty)$上单调递增，因为$f(a - 2) ＜ f(1 + 2a)$，所以$|a - 2| ＜ |1 + 2a|$，两边平方，得$a^{2} - 4a + 4 ＜ 4a^{2} + 4a + 1$，化简得$3a^{2} + 8a - 3 ＞ 0$，解得$a ＜ - 3$或$a ＞ \frac{1}{3}$，故实数$a$的取值范围为$( - \infty, - 3) \cup (\frac{1}{3}, + \infty)$．