《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

1. 函数 $ y=\left(\frac{1}{2}\right)^{1 - x} $ 的单调递增区间为（ ）

A.$ (-\infty,+\infty) $
B.$ (0,+\infty) $
C.$ (1,+\infty) $
D.$ (0,1) $

答案： 1.A 函数$y=(\frac{1}{2})^{1-x}$的定义域为$\mathbf{R}$，设$u=1-x$，则$y=(\frac{1}{2})^{u}$，因为$u=1-x$为减函数，$y=(\frac{1}{2})^{u}$在$(-\infty,+\infty)$上为减函数，所以$y=(\frac{1}{2})^{1-x}$在$(-\infty,+\infty)$上是增函数.故选A.

2. 已知函数 $ f(x)=2^{x + 2}-3 × 4^{x} $，若 $ x^{2}+x \leq 0 $，则 $ f(x) $ 的最大值和最小值分别是（ ）

A.$ \frac{2}{3},0 $
B.$ \frac{4}{3},1 $
C.$ \frac{4}{3},\frac{5}{4} $
D.$ 3,1 $

答案： 2.B 由$x^{2}+x\leqslant0$，得到$-1\leqslant x\leqslant0$，令$2^{x}=t\in[\frac{1}{2},1]$，则$y=4t-3t^{2}$，对称轴$t=\frac{2}{3}$，当$t=\frac{2}{3}$时，$y=4t-3t^{2}$取得最大值，最大值为$y=4×\frac{2}{3}-3×\frac{4}{9}=\frac{4}{3}$，当$t=1$时，$y=4t-3t^{2}$取得最小值，最小值为$y=4-3=1$，所以$f(x)$的最大值和最小值分别是$\frac{4}{3},1$.故选B.

3. 已知函数 $ f(x) $ 为定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数，且在 $ 0,+\infty) $ 上单调递减，满足 $ f(\log_{2}a)-f(\log_{\frac{1}{2}}a) \leq 2f(3) $，则实数 $ a $ 的取值范围为（ ）

A.$ \left(0,\frac{1}{8}\right) $
B.$ \left[\frac{1}{8},8\right] $
C.$ (0,8 $
D.$ 8,+\infty) $

答案： 3.D 函数$f(x)$为定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且在$0,+\infty)$上单调递减，所以$f(x)$在$\mathbf{R}$上是减函数，$f(\log_{2}a)+f(\log_{\frac{1}{2}}a)\leqslant2f(3)$，即$f(\log_{2}a)+f(-\log_{2}a)\leqslant2f(3)$，所以$f(\log_{2}a)\leqslant f(3)$，所以$\log_{2}a\geqslant3=\log_{2}2^{3}$，所以$a\geqslant8$，即实数$a$的取值范围为$8,+\infty)$.故选D.

4. 已知函数 $ f(x)=\ln(\sqrt{1 + x^{2}}-x)+2 $，且 $ f(t)=7 $，则 $ f(-t)= $______.

答案： 4.-3 令$g(x)=f(x)-2=\ln(\sqrt{1 + x^{2}}-x)$，则$g(-x)+g(x)=\ln(\sqrt{(-x)^{2}+1}-(-x))+\ln(\sqrt{x^{2}+1}-x)=\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)+\ln(\sqrt{x^{2}+1}-x)=\ln[(\sqrt{x^{2}+1}+x)(\sqrt{x^{2}+1}-x)]=\ln(x^{2}+1-x^{2})=0$，故$f(-x)-2+f(x)-2=0$，所以$f(-x)+f(x)=4$，因为$f(t)=7$，所以$f(-t)=4-7=-3$.

典例 1 求下列各式的值：
(1) $(\log_3 7 + \log_7 3)^2 - \frac{\log_9 49}{\log_7 3} - (\log_7 3)^2$；
(2) $\log_{\sqrt{3}} 9 + \frac{1}{2} \lg 25 + \lg 2 - \log_4 9 × \log_3 8 + 2^{\log_2 3 - 1} + \ln \sqrt{e}$。

答案： 典例1 解：
(1)原式=(log₃7)²+(log₇3)²+2log₃7×log₇3 - $\frac{log₃7}{log₇3}$ - (log₇3)²=(log₃7)² + 2 - (log₃7)² = 2。
(2)原式=log₃3² + $\frac{1}{2}$lg5² + lg2 - log₂3²×log₃2³ + $\frac{2^{log₂3}}{2}$ + lne$^{\frac{1}{2}}$
= 4log₃3 + lg5 + lg2 - log₂3×3log₃2 + $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$
= 4 + lg(5×2) - 3 + 2 = 4 + 1 - 1 = 4。