《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

问题. 你能写出几种函数模型？

答案： 6种.如下表：
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 函数模型 & 函数解析式 \\
\hline 一次函数模型 &$f(x)=ax + b(a,b$为常数$,a \neq 0)$\\
\hline 反比例型函数模型 &$f(x)=\frac{k}{x}+b(k,b$为常数，且$k \neq 0)$\\
\hline 二次函数模型 &$f(x)=ax^{2}+bx + c(a,b,c$为常数$,a \neq 0)$\\
\hline 指数型函数模型 &$f(x)=ba^{x}+c(a,b,c$为常数$,b \neq 0,a＞0$，且$a \neq 1)$\\
\hline 对数型函数模型 &$f(x)=b\log_{a}x + c(a,b,c$为常数$,b \neq 0,a＞0$，且$a\neq 1)$\\
\hline 幂函数型模型 &$f(x)=ax^{n}+b(a,b$为常数$,a \neq 0)$\\
\hline
\end{tabular}

典例 1（链教材 P136 例 1）
如图①是某公共汽车线路收支差额 $ y $（元）与乘客量 $ x $（人）的图象.
(1) 试说明图①上点 $ A $、点 $ B $ 以及射线 $ AB $ 上的点的实际意义；
(2) 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图②③所示. 你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
(3) 此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4) 图①、图②、图③中的票价分别是多少元？

答案：
(1)点A表示无人乘车时收支差额为$- 20$元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上(不包括B点)的点表示亏损，线段AB延长线上的点表示盈利.
(2)图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是提高票价.
(3)斜率表示票价.
(4)图①、图②中的票价是2元，图③中的票价是4元.

为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间 $ x $(分)与通话费用 $ y $(元)的关系如图所示.

(1) 分别求出通话费用 $ y_{1} $，$ y_{2} $ 与通话时间 $ x $ 之间的函数解析式；
(2) 请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.

答案：
(1)由图象可设$y_{1}=k_{1}x + 29(k_{1} \neq 0),y_{2}=k_{2}x(k_{2} \neq 0)$，
把点$B(30,35),C(30,15)$分别代入$y_{1}=k_{1}x + 29,y_{2}=k_{2}x$，
得$k_{1}=\frac{1}{5},k_{2}=\frac{1}{2}$.
所以$y_{1}=\frac{1}{5}x + 29(x \geq 0),y_{2}=\frac{1}{2}x(x \geq 0)$.
(2)令$y_{1}=y_{2}$，即$\frac{1}{5}x + 29=\frac{1}{2}x$，则$x = 96\frac{2}{3}$.
当$x = 96\frac{2}{3}$时，$y_{1}=y_{2}$，两种卡收费一致；
当$0\leq x＜96\frac{2}{3}$时，$y_{1}＞y_{2}$，使用便民卡便宜；
当$x＞96\frac{2}{3}$时，$y_{1}＜y_{2}$，使用如意卡便宜.