《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例1（链教材 P17 例 3）在下列各题中，判断 $ p $ 是 $ q $ 的什么条件.
(1) $ p $：$ |x| = |y| $，$ q $：$ x = y $；
(2) $ p $：$ \triangle ABC $ 是直角三角形，$ q $：$ \triangle ABC $ 是等腰三角形；
(3) $ p $：$ \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC ＞ \angle ABC $，$ q $：$ \triangle ABC $ 中，$ BC ＞ AC $；
(4) $ p $：$ m ＞ 0 $，$ q $：关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} + x - m = 0 $ 有实根.

答案：
(1)必要不充分条件
(2)既不充分也不必要条件
(3)充要条件
(4)充分不必要条件

对点练1. (1)（2023·天津卷）已知 $ a, b \in \mathbf{R} $，则“$ a^{2} = b^{2} $”是“$ a^{2} + b^{2} = 2ab $”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案：
(1)B
 

(2) 给出下列各组条件：
① $ p $：$ ab = 0 $，$ q $：$ a^{2} + b^{2} = 0 $；② $ p $：$ xy \geq 0 $，$ q $：$ |x + y| = |x| + |y| $；③ $ p $：$ m ＞ 0 $，$ q $：方程 $ x^{2} - x - m = 0 $ 有实根；④ $ p $：$ x ＞ 2 $ 或 $ x ＜ -1 $，$ q $：$ x ＜ -1 $.
其中 $ p $ 是 $ q $ 的充要条件的有（ ）
A.1 组
B.2 组
C.3 组
D.4 组

答案：
(2)A

典例2（链教材 P46A 组 T5）设 $ a, b, c \in \mathbf{R} $，求证：关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 有一个根是 1 的充要条件为 $ a + b + c = 0 $.

答案： 证明:充分性:因为$a + b + c=0$，所以$c=-a - b$，代入方程$ax^{2}+bx + c=0$得$ax^{2}+bx - a - b=0$，即$(x - 1)(ax + a + b)=0$.
所以关于x的方程$ax^{2}+bx + c=0$有一个根为$1$.
必要性:因为方程$ax^{2}+bx + c=0$有一个根为$1$，所以$x = 1$满足方程$ax^{2}+bx + c=0$，所以$a×1^{2}+b×1 + c=0$，即$a + b + c=0$.
故关于x的方程$ax^{2}+bx + c=0$有一个根是$1$的充要条件为$a + b + c=0$.

对点练2. 求证：$ \triangle ABC $ 是等边三角形的充要条件是 $ a^{2} + b^{2} + c^{2} = ab + ac + bc $.（这里 $ a, b, c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三边边长）

答案： 证明:必要性:
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$a = b = c$，所以$ab + ac + bc=a^{2}+b^{2}+c^{2}$，所以必要性成立；
充分性:
由$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab + ac + bc$两边同时乘$2$得，$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}=2ab + 2ac + 2bc$，即$(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}=0$，所以$a = b = c$，所以$\triangle ABC$是等边三角形，所以充分性成立.
综上，$\triangle ABC$是等边三角形的充要条件是$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab + ac + bc$.