《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

问题 2. 一元二次函数的解析式有几种形式？

答案： 问题2.三种不同形式.即一般式：$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)；$顶点式：$y=a(x-h)^{2}+k(a≠0)；$两根式：$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})(a≠0)。$

一元二次函数的解析式
(1) 一般式：________________________；
(2) 顶点式：________________________；
(3) 两根式：________________________。

答案： 一元二次函数的解析式
(1) 一般式：$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)；$
(2) 顶点式：$y=a(x-h)^{2}+k(a≠0)；$
(3) 两根式：$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})(a≠0)。$

典例 2
根据下列条件，求一元二次函数的解析式：
(1) 图象过点 (1, 1) ， (0, 2) ， (3, 5) ；
(2) 图象过点 (1, 4) ， (-1, 0) 和 (3, 0) ；
(3) 图象过点 (2, -1) ， (-1, -1) ，且最大值为 8。

答案： 典例 2
根据下列条件，求一元二次函数的解析式：
(1) 图象过点 (1, 1) ， (0, 2) ， (3, 5) ；
(2) 图象过点 (1, 4) ， (-1, 0) 和 (3, 0) ；
(3) 图象过点 (2, -1) ， (-1, -1) ，且最大值为 8。
解：
(1)设函数解析式为y=ax^{2}+bx+c(a≠0)，
由题设知$\begin{cases}a+b+c=1,\\c=2,\\9a+3b+c=5.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=2.\end{cases}$
所以函数解析式为y=x^{2}-2x+2.
(2)法一：设函数解析式为y=ax^{2}+bx+c(a≠0)，将(1,4),(-1,0),
(3,0)分别代入上式，得$\begin{cases}a+b+c=4,\\a-b+c=0,\\9a+3b+c=0.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=3.\end{cases}$
所以函数解析式为y=-x^{2}+2x+3.
法二：设函数解析式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0)，
将(1,4)代入上式，得4=a(1+1)(1-3)，
所以a=-1，所以y=-(x+1)(x-3)，
即函数解析式为y=-x^{2}+2x+3.
(3)法一：设函数解析式为y=ax^{2}+bx+c(a≠0)，
由题意，得$\begin{cases}4a+2b+c=-1,\\a-b+c=-1,\frac{4ac-b^{2}}{4a}=8.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-4,\\b=4,\\c=7.\end{cases}$
故函数解析式为y=-4x^{2}+4x+7.
法二：因为函数图象过点(2,-1),(-1,-1)，
所以抛物线的对称轴为直线x=$\frac{2+(-1)}{2}$=$\frac{1}{2}$，
又因为函数最大值为8，所以y=a(x-$\frac{1}{2}$)^{2}+8.
将(2,-1)代入，得a(2-$\frac{1}{2}$)^{2}+8=-1，解得a=-4，
所以y=-4(x-$\frac{1}{2}$)^{2}+8=-4x^{2}+4x+7.
故函数解析式为y=-4x^{2}+4x+7.

已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 图象过点 $ (0, 3) $，$ (3, 0) $，$ (-1, 0) $，求二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的解析式。

答案： 对点练2.解：依题意知二次函数y=ax^{2}+bx+c(a≠0)图象过点(0,3)，
(3,0),(-1,0)，
所以$\begin{cases}c=3,\\9a+3b+c=0,\\a-b+c=0.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=3.\end{cases}$则y=-x^{2}+2x+3.

问题 3. 你能找出一元二次函数 $ y = 2(x - 1)^{2} + 5 $ 图象的对称轴和顶点坐标吗？你能找出函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大所对应的区间吗？你能求出函数的最值吗？

答案： 问题3.能.对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,5).
函数值y随x的增大而减小的区间是(-∞,1]，函数值y随x的增大而增大的区间是[1,+∞).
当x=1时，$y_{min}=5，$无最大值.

一元二次函数 $ y = a(x - h)^{2} + k(a \neq 0) $ 的图象和性质

答案： 新知构建x=h(h,k)减小增大增大减小k k