《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

问题. 结合指数函数 $ y = 2^{x} $，$ y = 3^{x} $，$ y = \left( \dfrac { 1 } { 2 } \right) ^ { x } $，$ y = \left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { x } $ 的图象，类比研究幂函数性质的方法，函数 $ y = a ^ { x } ( a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 ) $ 有什么性质呢？

答案： 可以从函数的定义域、值域、单调性、图象的变化特征等方面考虑.

指数函数 $ y = a ^ { x } ( a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 ) $ 的图象和性质
[微思考] 指数函数 $ y = a ^ { x } ( a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 ) $ 的底数 $ a $ 对图象有哪些影响？

答案： 1. 定义域：
对于指数函数$y = a^{x}(a\gt0,a\neq1)$，$x$可以取任意实数，所以定义域为$\boldsymbol{R}$。
2. 值域：
因为$a^{x}\gt0$，所以值域为$(0,+\infty)$。
3. 过定点：
当$x = 0$时，$y=a^{0}=1$（$a\neq0$），所以过定点$(0,1)$。
4. $a\gt1$时函数值情况：
当$x\lt0$时，$0\lt y\lt1$；当$x\gt0$时，$y\gt1$。
在$\boldsymbol{R}$上是增函数，当$x$值趋近于正无穷大时，函数值趋近于$+\infty$；当$x$值趋近于负无穷大时，函数值趋近于$0$。
5. $0\lt a\lt1$时函数值情况：
当$x\lt0$时，$y\gt1$；当$x\gt0$时，$0\lt y\lt1$。
在$\boldsymbol{R}$上是减函数，当$x$值趋近于正无穷大时，函数值趋近于$0$；当$x$值趋近于负无穷大时，函数值趋近于$+\infty$。
综上，答案依次为：$\boldsymbol{R}$；$(0,+\infty)$；$(0,1)$；$0\lt y\lt1$，$y\gt1$；$y\gt1$，$0\lt y\lt1$；增，减；$+\infty$，$0$；$0$，$+\infty$。

典例 1
(链教材 P85 例 1，P88 例 3，P90 例 5)比较下列各题中两个数的大小：
(1) $ 1.4 ^ { 0.3 } $ 与 $ 1.4 ^ { 0.4 } $；(2) $ 0.3 ^ { 1.4 } $ 与 $ 0.3 ^ { 1.5 } $；
(3) $ a ^ { - 3.14 } $ 与 $ \left( \dfrac { 1 } { a } \right) ^ { \pi } ( a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1 ) $；
(4) $ 1.2 ^ { 0.3 } $ 和 $ 0.8 ^ { 1.2 } $。

答案： 解：
(1)因为函数 $y=1.4^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上是增函数，且 $0.3＜0.4$，所以 $1.4^{0.3}＜1.4^{0.4}$.
(2)因为函数 $y=0.3^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上是减函数，且 $1.4＜1.5$，所以 $0.3^{1.4}＞0.3^{1.5}$.
(3)当 $a＞1$ 时，因为函数 $y=a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上是增函数，且 $-3.14＞-\pi$，故 $a^{-3.14}＞a^{-\pi}=(\frac{1}{a})^{\pi}$.
当 $0＜a＜1$ 时，因为函数 $y=a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上是减函数，且 $-3.14＞-\pi$，故 $a^{-3.14}＜a^{-\pi}=(\frac{1}{a})^{\pi}$.
(4)由指数函数的性质，$1.2^{0.3}＞1.2^{0}=1$，又 $0.8^{1.2}＜0.8^{0}=1$，所以 $1.2^{0.3}＞0.8^{1.2}$.

(1)(多选题)下列判断正确的有( )

A.$ \left( \dfrac { 5 } { 7 } \right) ^ { - 1.4 } ＞ \left( \dfrac { 5 } { 7 } \right) ^ { - 2.1 } $
B.$ 2 ^ { 0.3 } ＜ 2 ^ { 0.5 } $
C.$ \pi ^ { 2 } ＞ \pi ^ { \sqrt { 3 } } $
D.$ 0.7 ^ { 0.8 } ＜ 0.7 ^ { 0.7 } $

答案： BCD