《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

1. 增函数、减函数的概念

答案： $f(x_1) ＜ f(x_2)$；$f(x_1) ＞ f(x_2)$

[微思考] 函数 $ y = f(x) $ 的定义域是 $ D $，如果对于定义域 $ D $ 内某个区间 $ I $ 上存在两个自变量 $ x_1 $，$ x_2 $，当 $ x_1 ＜ x_2 $ 时，有 $ f(x_1) ＜ f(x_2) $，则函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ I $ 上是增函数吗？

答案： 不是

2. 函数的单调性与单调区间
如果函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ I $ 上____或____，那么就称函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ I $ 上具有单调性。单调递增区间和单调递减区间统称为____。
[微提醒] (1)

单

调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“$\cup$”，只能用“，”将它们隔开或用“和”字连接。例如函数 $ y = \frac{1}{x} $ 的单调递减区间为 $(-\infty,0)$，$(0,+\infty)$。(2) 书写函数的单调区间时，若函数在区间端点处有定义，则可写成闭区间，也可写成开区间；若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间。

答案： 1. 首先明确函数单调性的定义：
如果函数$y = f(x)$在区间$I$上单调递增或单调递减，那么就称函数$y = f(x)$在区间$I$上具有单调性。
2. 然后看单调区间的统称：
单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间。
故答案依次为：单调递增；单调递减；单调区间。

典例 1
(1) (多选题) 下列说法能判断函数 $ f(x) $ 在区间 $(a,b)$ 上单调递增的有（ ）
A.对于任意的 $ x_1,x_2\in(a,b) $，当 $ x_1 ＞ x_2 $ 时，都有 $ f(x_1) - f(x_2) ＞ 0 $ 恒成立
B.对于任意的 $ x_1,x_2\in(a,b) $，$ x_1\neq x_2 $，都有 $ \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} ＞ 0 $ 恒成立
C.存在 $ x_1,x_2\in(a,b) $，使得 $ \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} ＞ 0 $ 成立
D.对于任意的 $ a ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ \frac{a + b}{2} $，都有 $ \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} ＞ 0 $ 恒成立，并且对于任意的 $ \frac{a + b}{2}\leq x_1 ＜ x_2 ＜ b $，都有 $ \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} ＞ 0 $ 也恒成立

答案：
(1)AB；
 

(2) 如图是函数 $ y = f(x) $ 的图象，其定义域为 $-2,+\infty)$，则函数 $ f(x) $ 的单调递减区间是（ ）
A.$-1,0)$
B.$1,+\infty)$
C.$-1,0)$，$1,+\infty)$
D.$-1,0)\cup1,+\infty)$

答案：
(2)
根据函数单调性的定义，结合函数图象可知，函数$f(x)$的单调递减区间是$-1,0)$和$1,+\infty)$，单调区间不能用并集符号连接，应写成$-1,0)$，$1,+\infty)$。

(1) 已知函数 $ f(x) $ 在 $0,+\infty)$ 上单调递减，则对实数 $ x_1 ＞ 0 $，$ x_2 ＞ 0 $，“$ x_1 ＞ x_2 $”是“$ f(x_1) ＜ f(x_2) $”的( )

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： C

(2) 如图为函数 $ y = f(x) $，$ x\in[-4,4] $ 的图象，则函数 $ f(x) $ 的单调递增区间为( )

A.$(-2,4$
B.$(-2,0)\cup(0,4$
C.$(-1,0)$，$(1,4$
D.$(-2,0)$，$(0,4$

答案： D