《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

1. 对于函数 $y = f(x)$，部分 $x$ 与 $y$ 的对应关系如下表：

则 $f(f(1))$ 的值为（ ）

A.1
B.3
C.4
D.5

答案： 1.C 由表格可得，$f(1) = 7$，所以$f(f(1)) = f(7) = 4$.故选C.

2. 已知 $f(\sqrt{x} - 1) = x - 2\sqrt{x}$，则 $f(x)$ 的解析式为（ ）

A.$f(x)=x^2 - 1$
B.$f(x)=x^2 + 1(x\geq - 1)$
C.$f(x)=x^2 - 1(x\geq - 1)$
D.$f(x)=x^2 + 1$

答案： 2.C 令$t = \sqrt{x} - 1$，$t \geq -1$，由$f(\sqrt{x} - 1) = x - 2\sqrt{x} = (\sqrt{x} - 1)^2 - 1$，则$f(t) = t^2 - 1$，$t \geq -1$，即$f(x) = x^2 - 1(x \geq -1)$.故选C.

3.（多选题）已知函数 $f(x)=2x,x\in\{1,2,3,4,5\}$，则下列选项正确的是（ ）

A.$f(x)$ 的图象是一条直线
B.$f(x)$ 的图象是五个孤立点
C.$f(x)$ 的值域是 $\{2,4,6,8,10\}$
D.$f(x)$ 的最大值是 $10$

答案： 3.BCD 因为$f(x)$的定义域是$\{1,2,3,4,5\}$只能取五个整数，所以它的图象是散点，故A错误，B正确；将$x$的值代入$f(x) = 2x$，得函数值为$2,4,6,8,10$，故C，D正确.故选BCD.

4. 函数 $y = f(x)$ 的图象如图所示，函数 $f(x)$ 的值域为 ______.

答案： 4.$[1,5]$ 由图象可知，函数$f(x)$的值域为$[1,5]$.

问题 1. 如图是函数 $ f(x)(x\in[-6,9]) $ 的图象。

直观上你可以看出，对于区间 $[-6,-5]$，$[-2,1]$，$[3,4.5]$，$[7,8]$ 上函数有什么共同特征吗？对于区间 $[-5,-2]$，$[1,3]$，$[4.5,7]$，$[8,9]$ 上函数有什么共同特征吗？

答案： 1. 对于区间 $[-6,-5]$，$[-2,1]$，$[3,4.5]$，$[7,8]$：
函数 $f(x)$ 在这些区间上单调递增。
2. 对于区间 $[-5,-2]$，$[1,3]$，$[4.5,7]$，$[8,9]$：
函数 $f(x)$ 在这些区间上单调递减。

问题 2. 如何用数学符号的语言表达函数值 $ f(x) $ 在区间 $[-6,-5]$ 上随 $ x $ 值的增大而增大呢？

答案： 对于任意$x_1,x_2$满足$-6\leq x_1＜x_2\leq -5$，都有$f(x_1)＜f (x_2)$，则可以说函数值$f(x)$在区间$[-6, -5]$上随$x$的增大而增大，用数学符号语言表述为：
$\forall x_{1},x_{2}\in[-6,-5]$，当$x_{1}＜x_{2}$时，$f(x_{1})＜f(x_{2})$。