《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

[微思考] 函数的三种表示法各有什么优缺点？

答案： 1. 解析法：
优点：
函数关系清楚，如$y = 2x+1$，$y=\sin x$等，能从解析式清楚地看出变量之间的对应关系。
便于用代数方法研究函数，例如求函数的定义域、值域，研究函数的单调性、奇偶性等性质。对于函数$y = x^{2}-1$，可以通过求导$y^\prime=2x$来研究其单调性（当$x\gt0$时，$y^\prime\gt0$，函数单调递增；当$x\lt0$时，$y^\prime\lt0$，函数单调递减）。
适合进行理论分析和推导。
缺点：
一些实际问题中的函数关系，有时很难用解析式表示，比如气温随时间变化的函数关系，很难用一个简单的解析式精确表达。
不够直观，对于一些复杂的解析式，不容易直接看出函数的变化趋势等。
2. 列表法：
优点：
不必计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，例如列车时刻表，我们可以直接从表中找到某一时刻对应的列车位置等信息。
对于自变量取值是离散的情况，列表法很方便，如某班级学生的身高与学号的对应关系（学号是离散的）。
缺点：
不能全面地反映函数关系，只能列出部分自变量与函数值的对应关系，不能反映函数的全貌。
不便于进行理论分析和推导。
3. 图象法：
优点：
能直观形象地表示出函数的变化情况，比如通过一次函数$y = kx + b(k\neq0)$的图象（直线），我们可以直观地看出函数的单调性（$k\gt0$时单调递增，$k\lt0$时单调递减）。
可以通过图象发现函数的一些性质，如最大值、最小值、对称性等。例如二次函数$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象（抛物线），可以直接看出其对称轴$x =-\frac{b}{2a}$，顶点坐标$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$等性质。
对于一些实际问题，图象法更能体现其实际意义，如股票价格随时间变化的图象。
缺点：
图象法只能近似地求出自变量所对应的函数值，很难得到精确的函数值。
对于复杂的函数图象，准确绘制图象比较困难。

典例 1
购买某种饮料 $x$ 听，所需钱数为 $y$ 元. 若每听 $2$ 元，试分别用解析法、列表法、图象法将 $y$ 表示成 $x(x\in\{1,2,3,4\})$ 的函数，并指出这个函数的值域.

答案：
典例1　解：解析法：$y = 2x,x \in \{1,2,3,4\}$.
列表法：如表所示.
$x$/听　1　2　3　4
$y$/元　2　4　6　8
图象法：图象由点$(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)$组成，如图所示

函数的值域是$\{2,4,6,8\}$.

某商场为回馈顾客，规定凡购买某品牌商品两件，赠儿童玩具一个，一顾客购买此品牌商品的件数为 $x$ 件，获赠儿童玩具 $y$ 个，分别用列表法、解析法、图象法将 $y$ 表示成 $x(x\in\{2,4,6,8\})$ 的函数.

答案：
对点练1.解：列表法：
$x$/件　2　4　6　8
$y$/个　1　2　3　4
解析法：$y = 0.5x,x \in \{2,4,6,8\}$;
图象法：

典例 2（链教材 P56 例 3、P57 例 4）
画出下列函数的图象，并求出其值域：
(1) $y = 2x + 1,x\in[0,2]$；
(2) $y=\frac{2}{x},x\in[2,+\infty)$；
(3) $y = x^2 + 2x,x\in[-2,2]$.

答案：
典例2　解：
(1)当$x \in [0,2]$时，图象是直线$y = 2x + 1$的一部分，如图①所示，观察图象可知，其值域为$[1,5]$.
(2)当$x \in [2, + \infty)$时，图象是反比例函数$y = \frac{2}{x}$的一部分，如图②所示，观察图象可知，其值域为$(0,1]$.
　　
(3)当$-2 \leq x \leq 2$时，图象是抛物线$y = x^2 + 2x$的一部分，如图③所示，观察图象可知，其值域为$[-1,8]$.

画出下列函数的图象：
(1) $f(x)=x^2 - 4|x|$；
(2) $y = x - [x]$(其中 $y = [x]$ 为取整函数).

答案：
对点练2.解：
(1)$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, x \geq 0, \\ x^2 + 4x, x ＜ 0 \end{cases}$
其图象如下：

(2)由题意知$y = x - [x] = x - (k - 1)$，其中$k - 1 \leq x ＜ k(k \in \mathbb{Z})$，其图象如下：