《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

问题 2. 下图是一元二次函数$y = x^{2}-x - 6$的图象，下表是其部分对应值表：

根据图表，你能说出方程$x^{2}-x - 6 = 0$的解吗？你能说出不等式$x^{2}-x - 6＞0$的解集吗？$x^{2}-x - 6＜0$呢？

答案： 问题2.$x = - 2$，或$x = 3$；$\{x|x ＜ - 2$，或$x ＞ 3\}$；$\{x|-2 ＜ x ＜ 3\}$.

一元二次不等式的求解方法
$y = ax^{2}+bx + c(a＞0)$的图象与方程$ax^{2}+bx + c = 0$的实数根、不等式$ax^{2}+bx + c＞0$和$ax^{2}+bx + c＜0$的解集之间的关系：
微提醒
（1）三个二次间的关系：$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的解$\Leftrightarrow y = ax^{2}+bx + c$的图象与$x$轴交点的横坐标；$ax^{2}+bx + c＞0$的解集$\Leftrightarrow y = ax^{2}+bx + c$的图象上的点$(x,y)$在$x$轴上方时，对应的$x$的取值集合；$ax^{2}+bx + c＜0$的解集$\Leftrightarrow y = ax^{2}+bx + c$的图象上的点$(x,y)$在$x$轴下方时，对应的$x$的取值集合.
（2）在解一元二次不等式时，应首先将二次项系数$a$转化为大于 0 的情况，然后借助于图象解决.

答案： 1. 当$\Delta\gt0$时：
不等式$ax^{2}+bx + c\gt0$的解集：$\{x|x\lt x_{1}或x\gt x_{2}\}$；
不等式$ax^{2}+bx + c\lt0$的解集：$\{x|x_{1}\lt x\lt x_{2}\}$。
2. 当$\Delta = 0$时：
不等式$ax^{2}+bx + c\gt0$的解集：$\{x|x\neq-\frac{b}{2a}\}$；
不等式$ax^{2}+bx + c\lt0$的解集：$\varnothing$。
3. 当$\Delta\lt0$时：
不等式$ax^{2}+bx + c\gt0$的解集：$R$；
不等式$ax^{2}+bx + c\lt0$的解集：$\varnothing$。
故答案依次为：$\{x|x\lt x_{1}或x\gt x_{2}\}$；$\{x|x\neq-\frac{b}{2a}\}$；$R$；$\{x|x_{1}\lt x\lt x_{2}\}$；$\varnothing$；$\varnothing$。

典例 2（链教材 P37 例 2、例 3）
求下列不等式的解集：
（1）$2x^{2}+5x - 3＜0$；（2）$-3x^{2}+6x\leqslant2$；
（3）$4x^{2}+4x + 1＞0$；（4）$-x^{2}+6x - 10＞0$.

答案：
典例2 解：
(1)因为$\Delta = 49 ＞ 0$，所以方程$2x^{2}+5x - 3 = 0$有两个不相等的实数根，解得$x_{1} = - 3$，$x_{2}=\frac{1}{2}$.画出一元二次函数$y = 2x^{2}+5x - 3$的图象，如图①所示,
　　　　　　　 　　　
观察图象可得原不等式的解集为$\{x|-3 ＜ x ＜ \frac{1}{2}\}$.
(2)原不等式等价于$3x^{2}-6x + 2 \geq 0$.$\Delta = 12 ＞ 0$，
解方程$3x^{2}-6x + 2 = 0$，
得$x_{1}=\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$，$x_{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{3}$.画出一元二次函数$y = 3x^{2}-6x + 2$的图象，如图②所示,
观察图象可得原不等式的解集为$\{x|x \leq \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$，或$x \geq \frac{3+\sqrt{3}}{3}\}$.
(3)因为$\Delta = 0$，所以方程$4x^{2}+4x + 1 = 0$有两个相等的实数根$x_{1}=x_{2}=-\frac{1}{2}$.
画出函数$y = 4x^{2}+4x + 1$的图象如图③所示,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
观察图象可得原不等式的解集为$\{x|x \neq -\frac{1}{2}\}$.
(4)原不等式可化为$x^{2}-6x + 10 ＜ 0$，因为$\Delta = - 4 ＜ 0$，
所以方程$x^{2}-6x + 10 = 0$无实数根，
所以原不等式的解集为⌀.

下列一元二次不等式的解集正确的是（ ）

A.$x^{2}-5x + 6＞0$的解集为$\{x|x＜2$，或$x＞3\}$
B.$9x^{2}-6x + 1＞0$的解集为$\{x|x\neq\frac{1}{3}\}$
C.$-x^{2}+2x - 3＞0$的解集为$\varnothing$
D.$x^{2}+2x + 3＞0$的解集为$\varnothing$

答案： 对点练2.
(1)ABC
(1)对于A，由$x^{2}-5x + 6 ＞ 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) ＞ 0 \Rightarrow x ＜ 2$或$x ＞ 3$，故A正确；对于B，由$9x^{2}-6x + 1 ＞ 0 \Rightarrow (3x - 1)^{2} ＞ 0 \Rightarrow x \in \mathbf{R}$且$x \neq \frac{1}{3}$，故B正确；对于C，由$-x^{2}+2x - 3 ＞ 0 \Rightarrow x^{2}-2x + 3 ＜ 0 \Rightarrow (x - 1)^{2}+2 ＜ 0$，所以不等式解集为⌀，故C正确；对于D，由$x^{2}+2x + 3 ＞ 0 \Rightarrow (x + 1)^{2}+2 ＞ 0$，所以不等式的解集为$\mathbf{R}$，故D错误.故选ABC.

(2)(多选题)
下面不等式的解集为$\mathbf{R}$的是( )

A.$x^{2}+x + 1\geqslant0$
B.$x^{2}-2\sqrt{5}x + 5＞0$
C.$x^{2}+6x + 10＞0$
D.$2x^{2}-3x + 4＜0$

答案：
(2)AC
(2)对于A，由于$x^{2}+x + 1 = (x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$，所以不等式$x^{2}+x + 1 \geq 0$的解集为$\mathbf{R}$，符合题意；对于B，不等式$x^{2}-2\sqrt{5}x + 5 = (x - \sqrt{5})^{2} ＞ 0$的解集为$\{x|x \neq \sqrt{5}\}$，不符合题意；对于C，由于$x^{2}+6x + 10 = (x + 3)^{2}+1 \geq 1$，所以不等式$x^{2}+6x + 10 ＞ 0$的解集为$\mathbf{R}$，符合题意；对于D，二次函数$y = 2x^{2}-3x + 4$的图象开口向上，$\Delta = 9 - 32 = - 23 ＜ 0$，所以$2x^{2}-3x + 4 ＜ 0$的解集为⌀，不符合题意.故选AC.