《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

对点练 3. 已知函数 $ f(x)=x + \frac{1}{x} $。
（1）当 $ x\in[2,6] $，求函数 $ f(x) $ 的值域；
（2）若任意 $ x\in[\frac{1}{4},\frac{1}{2}] $，使得 $ x^2 - ax + 1\geq0 $ 恒成立，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 对点练 3. 解：
(1)任取$x_{1},x_{2}\in[1,+\infty)$，且$x_{1}＜x_{2}$，则$x_{2}-x_{1}＞0$，$x_{2}x_{1}＞1$，则$f(x_{2})-f(x_{1})=(x_{2}+\frac{1}{x_{2}})-(x_{1}+\frac{1}{x_{1}})=x_{2}-x_{1}+\frac{1}{x_{2}}-\frac{1}{x_{1}}=\frac{(x_{2}-x_{1})(x_{2}x_{1}-1)}{x_{2}x_{1}}＞0$，所以$f(x_{2})-f(x_{1})＞0$，即$f(x_{1})＜f(x_{2})$，所以函数$f(x)$是$[1,+\infty)$上的增函数，因此函数在$[2,6]$上单调递增，$f(2)=\frac{5}{2}$，$f(6)=\frac{37}{6}$，故值域为$[\frac{5}{2},\frac{37}{6}]$。
(2)由任意$x\in[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$，使得$x^{2}-ax + 1\geqslant0$恒成立可得对任意$x\in[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$，$a\leqslant\frac{x^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}$恒成立，由
(1)可推导函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$在$[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$上单调递减，故最小值为$f(\frac{1}{2})=\frac{5}{2}$，故实数$a$的取值范围为$(-\infty,\frac{5}{2}]$。

1. 已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数，且当 $ x\leq0 $ 时，$ f(x)=x^2 + 2x $，现已画出函数 $ f(x) $ 在 $ y $ 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象解决问题。

（1）补充完整图象并写出函数 $ f(x)(x\in\mathbf{R}) $ 的增区间；
（2）写出函数 $ f(x)(x\in\mathbf{R}) $ 的解析式；
（3）若函数 $ g(x)=f(x) - 2ax + 1(x\in[1,2]) $，求函数 $ g(x) $ 的最小值。

答案：
1. 解：
(1)因为函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，所以函数$f(x)$的图象关于$y$轴对称，由对称性即可补充完整图象，如图所示：

由图可知，函数$f(x)$的递增区间为$(-1,0)$和$(1,+\infty)$。
(2)根据题意，当$x＞0$时，$-x＜0$，所以$f(-x)=(-x)^{2}-2x=x^{2}-2x$，因为函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，所以$f(-x)=f(x)=x^{2}-2x(x＞0)$，所以$f(x)=\begin{cases}x^{2}+2x,x\leqslant0\\x^{2}-2x,x＞0\end{cases}$。
(3)当$x\in[1,2]$时，$g(x)=x^{2}-2x-2ax + 1=(x-1-a)^{2}-a^{2}-2a$，对称轴为$x=1+a$。当$1+a\leqslant1$，即$a\leqslant0$时，$g(x)$在$[1,2]$上单调递增，所以$g(x)_{\min}=g(1)=-2a$；当$1+a\geqslant2$，即$a\geqslant1$时，$g(x)$在$[1,2]$上单调递减，所以$g(x)_{\min}=g(2)=1-4a$；当$1＜1+a＜2$，即$0＜a＜1$时，$g(x)$在$[1,1+a]$上单调递减，在$[1+a,2]$上单调递增，所以$g(x)_{\min}=g(1+a)=-a^{2}-2a$。综上，函数$g(x)$的最小值$g(x)_{\min}=\begin{cases}-2a,a\leqslant0\\-a^{2}-2a,0＜a＜1\\1-4a,a\geqslant1\end{cases}$。

(1)(新情境)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数 $ f(x)=\frac{x}{|x| - 1} $ 的图象大致形状是( )


 

答案：
(1)A
(1)由于$f(x)=\frac{x}{|x|-1}$的定义域为$\{x|x\neq\pm1\}$，且$f(-x)=\frac{-x}{|-x|-1}=\frac{-x}{|x|-1}=-f(x)$，故$f(x)$为奇函数，图象关于原点对称，此时可排除C、D，且当$x＞1$，$f(x)＞0$，$0＜x＜1$，$f(x)＜0$，此时可排除B，故选A。

(2)(新定义)定义 $ \max\{a,b,c\} $ 为 $ a,b,c $ 中的最大值，设 $ h(x)=\max\{x^2,\frac{8}{3}x,6 - x\} $，则 $ h(x) $ 的最小值为( )

A.$ \frac{64}{9} $
B.$ 4 $
C.$ 0 $
D.$ \frac{48}{11} $

答案：

(2)D
(2)分别画出$y=x^{2}$，$y=\frac{8}{3}x$，$y=6-x$的图象，则函数$h(x)$的图象为图中实线部分。

由图知：函数$h(x)$的最低点为$A$，由$\begin{cases}y=\frac{8}{3}x\\y=6-x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{18}{11}\\y=\frac{48}{11}\end{cases}$，即$A(\frac{18}{11},\frac{48}{11})$，所以$h(x)$的最小值为$\frac{48}{11}$，故选D。