《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例1
(1) 下列函数中，随着自变量 $ x $ 的增大，增长速度最快的是 ( )
A.$ y = 2025^x $
B.$ y = x^{2025} $
C.$ y = \log_{2025} x $
D.$ y = 2025x $

答案：
(1)A
 
(1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快。故选A。
 

(2) (多选题) 根据三个函数 $ f(x) = 2x $，$ g(x) = 2^x $，$ h(x) = \log_2 x $，以下四个选项正确的是 ( )
规律方法
常见的函数模型及其增长特点
A.$ f(x) $ 的增长速度始终不变
B.$ f(x) $ 的增长速度越来越快
C.$ g(x) $ 的增长速度越来越快
D.$ h(x) $ 的增长速度越来越慢

答案：

(2)由下图可知A、C、D正确。故选ACD。
 　　　 　　　

(1) 下面对函数 $ f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x $，$ g(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x $ 与 $ h(x) = x^{-\frac{1}{2}} $ 在区间 $ (0,+\infty) $ 上的衰减情况的叙述正确的是 ( )

A.$ f(x) $ 的衰减速度逐渐变慢，$ g(x) $ 的衰减速度逐渐变快，$ h(x) $ 的衰减速度逐渐变慢
B.$ f(x) $ 的衰减速度逐渐变快，$ g(x) $ 的衰减速度逐渐变慢，$ h(x) $ 的衰减速度逐渐变快
C.$ f(x) $ 的衰减速度逐渐变慢，$ g(x) $ 的衰减速度逐渐变慢，$ h(x) $ 的衰减速度逐渐变慢
D.$ f(x) $ 的衰减速度逐渐变快，$ g(x) $ 的衰减速度逐渐变快，$ h(x) $ 的衰减速度逐渐变快

答案：

(1)C
(1)由函数f(x)=log₁₀(1/x),g(x)=(1/2)^x与$h(x)=x^{-1/3}$在区间(0,+∞)上的图象（右图）以及性质知函数f(x),g(x),h(x)的衰减速度均逐渐变慢。故选C。
　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2) (多选题) 三个变量 $ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $ 随变量 $ x $ 变化的数据如下表：

则下列说法合理的是 ( )

A.$ y_1 $ 关于 $ x $ 呈指数增长
B.$ y_2 $ 关于 $ x $ 呈指数增长
C.$ y_3 $ 关于 $ x $ 呈直线上升
D.$ y_2 $ 的增长速度最快

答案：
(2)BCD
(2)y₁随x增大而增大，增加量依次是125,375,625,875,…，增长的速度相对缓慢，不是指数增长，故A错误；y₂随x增大而增大，增加量依次是85,1530,27540,495720,…，增长的速度越来越快，呈指数增长，且增长速度最快，故B,D正确；y₃随x增大而增大，增加量依次是25,25,25，…，呈均匀增加状态，呈直线上升，故C正确。故选BCD。

典例2
函数 $ f(x) = 2^x $ 和 $ g(x) = x^3 $ 的图象如图所示. 设两函数的图象交于点 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $，且 $ x_1 ＜ x_2 $.
(1) 请指出图中曲线 $ C_1 $，$ C_2 $ 分别对应哪一个函数；
(2) 结合函数图象，比较 $ f(8) $，$ g(8) $，$ f(2025) $，$ g(2025) $ 的大小.

答案： 解：
(1)C₁对应的函数为g(x)=x³，C₂对应的函数为f(x)=2^x。
(2)因为g
(1)=1,f
(1)=2,g
(2)=8,f
(2)=4,g
(9)=729,f
(9)=512,g
(10)=1000,f
(10)=1024，所以f
(1)＞g
(1),f
(2)＜g
(2),f
(9)＜g
(9),f
(10)＞g
(10)。所以1＜x₁＜2,9＜x₂＜10。所以x₁＜8＜x₂＜2025。从图象上知，当x₁＜x＜x₂时，f(x)＜g(x)；当x＞x₂时，f(x)＞g(x)，且g(x)在(0,+∞)上是增函数，所以f
(2025)＞g
(2025)＞g
(8)＞f
(8)。