《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

1. (多选题) 当 $ a ＞ 1 $ 时，有下列结论，其中正确的结论是 ( )

A.指数函数 $ y = a^x $，当 $ a $ 越大时，其函数值的增长越快
B.指数函数 $ y = a^x $，当 $ a $ 越小时，其函数值的增长越快
C.对数函数 $ y = \log_a x $，当 $ a $ 越大时，其函数值的增长越快
D.对数函数 $ y = \log_a x $，当 $ a $ 越小时，其函数值的增长越快

答案： 1.AD 由指数函数、对数函数的图象，知A,D正确，B,C错误。故选AD。

2. 下列函数中，增长速度越来越慢的是 ( )

A.$ y = 6^x $
B.$ y = \log_6 x $
C.$ y = x^2 $
D.$ y = 6x $

答案： 2.B 指数函数y=6^x先慢后爆炸性增长，对数函数y=log₆x增长速度越来越慢，幂函数y=x²增长速度越来越快，一次函数y=6x匀速增长。故选B。

3. 四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程 $ f_i(x) (i = 1,2,3,4) $ 关于时间 $ x (x ＞ 1) $ 的函数关系是 $ f_1(x) = x^2 $，$ f_2(x) = 2x $，$ f_3(x) = \log_2 x $，$ f_4(x) = 2^x $，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是 ( )

A.$ f_1(x) = x^2 $
B.$ f_2(x) = 2x $
C.$ f_3(x) = \log_2 x $
D.$ f_4(x) = 2^x $

答案： 3.D 由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大。故选D。

4. 已知函数 $ f(x) = 3^x $，$ g(x) = 2x $，当 $ x \in \mathbf{R} $ 时，$ f(x) $ 与 $ g(x) $ 的大小关系为.

答案：
4.f(x)＞g(x) 在同一直角坐标系中画出函数f(x)=3^x,g(x)=2x的图象，如图所示，由于函数f(x)=3^x的图象在函数g(x)=2x图象的上方，则f(x)＞g(x)。
　　　　　　　　　　　

典例1
已知函数 $ f(x)=\frac{3^{x}+a}{3^{x}+1} $ 为奇函数.
(1)求 $ a $ 的值；
(2)判断函数 $ f(x) $ 的单调性，并加以证明.

答案： 典例1 解：
(1)因为函数$f(x)$是奇函数，且$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，
所以$f(0)=\frac{1+a}{1+1}=0$，
所以$a=-1$（经检验，$a=-1$时$f(x)$为奇函数，满足题意）.
(2)由
(1)知$f(x)=\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}=1-\frac{2}{3^{x}+1}$，
函数$f(x)$在定义域$\mathbf{R}$上单调递增.证明如下：任取$x_{1}＜x_{2}$，
则$f(x_{1})-f(x_{2})=(1-\frac{2}{3^{x_{1}}+1})-(1-\frac{2}{3^{x_{2}}+1})$
$=\frac{2(3^{x_{1}}-3^{x_{2}})}{(3^{x_{1}}+1)(3^{x_{2}}+1)}$，
因为$x_{1}＜x_{2}$，所以$3^{x_{1}}＜3^{x_{2}}$，所以$3^{x_{1}}-3^{x_{2}}＜0$，
又$3^{x_{1}}+1＞0$，$3^{x_{2}}+1＞0$，所以$f(x_{1})＜f(x_{2})$，
所以函数$f(x)$在定义域$\mathbf{R}$上单调递增.

(1)设函数 $ f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x(x - a)} $ 在区间 $ (0,1) $ 上单调递增，则实数 $ a $ 的取值范围是( )

A.$ (-\infty,-2 $
B.$ -2,0) $
C.$ (0,2 $
D.$ 2,+\infty) $

答案：
(1)D
(1)$y=(\frac{1}{2})^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递减，由复合函数单调性可知，$t=x(x-a)=x^{2}-ax=(x-\frac{a}{2})^{2}-\frac{a^{2}}{4}$在$(0,1)$上单调递减，$\frac{a}{2}\geqslant1$，解得$a\geqslant2$.故选D.

(2)函数 $ f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(-2x^{2}+3x+5) $ 的单调增区间为______.

答案：
(2)$(\frac{3}{4},\frac{5}{2})\frac{3}{4},\frac{5}{2})$也对
(2)由$-2x^{2}+3x+5＞0$得$2x^{2}-3x-5=(x+1)(2x-5)＜0$，解得$-1＜x＜\frac{5}{2}$，所以$f(x)$的定义域是$(-1,\frac{5}{2})$.函数$y=-2x^{2}+3x+5$的图象开口向下，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，函数$y=\log_{\frac{1}{2}}x$在$(0,+\infty)$上单调递减，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{3}{4},\frac{5}{2}).\frac{3}{4},\frac{5}{2})$也对

典例2
已知 $ 2^{x} \leq 256 $ 且 $ \log_{2}x \geq \frac{1}{2} $.
(1)求 $ x $ 的取值范围；
(2)在(1)的条件下，求函数 $ f(x)=\log_{2}\frac{x}{2} · \log_{2}\frac{x}{4} $ 的最大值和最小值.

答案： 典例2 解：
(1)由$2^{x}\leqslant256$，得$2^{x}\leqslant2^{8}$，解得$x\leqslant8$.
由$\log_{2}x\geqslant\frac{1}{2}$，得$\log_{2}x\geqslant\log_{2}\sqrt{2}$，解得$x\geqslant\sqrt{2}$.
所以$\sqrt{2}\leqslant x\leqslant8$，即$x$的取值范围为$[\sqrt{2},8]$.
(2)由
(1)得$\sqrt{2}\leqslant x\leqslant8$，所以$\frac{1}{2}\leqslant\log_{2}x\leqslant3$，
又$f(x)=\log_{2}\frac{x}{2}·\log_{2}\frac{x}{4}=(\log_{2}x-1)(\log_{2}x-2)$
$=(\log_{2}x-\frac{3}{2})^{2}-\frac{1}{4}$.
所以当$\log_{2}x=\frac{3}{2}$，即$x=2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}$时，$f(x)_{\min}=-\frac{1}{4}$；
当$\log_{2}x=3$，即$x=8$时，$f(x)_{\max}=2$.
故函数$f(x)$的最大值为2，最小值为$-\frac{1}{4}$.