《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

如图，已知函数 $ f(x) $ 是奇函数.
(1)补充完整函数 $ f(x) $ 的图象；
(2)写出函数 $ f(x) $ 的单调区间，并写出函数 $ f(x) $ 的值域.

答案：
(1) 因为$f(x)$是奇函数，图象关于原点对称，
依据图象可知：当$x = - 2$时，$f( - 2)= - f(2)= - 1$；
当$x = - 1$时，$f( - 1)= - f(1)= - 1$。
可补充函数$y = f(x)$的图象关于原点对称的点，
即点$(-2, - 1)$，$(-1, - 1)$，并连接这些点与原点附近曲线，使其呈奇函数特性。
(2)由图可得：
函数$f(x)$的单调递增区间为$[ - 2, - 1]$与$[1,2]$，单调递减区间为$[ - 1,1]$；
函数$f(x)$的值域为$[ - 1,1]$。

典例 3
（1）若函数 $ f(x) = \frac{x}{(2x - 1)(x + a)} $ 为奇函数，则 $ a = $ （ ）
A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ \frac{3}{4} $
D.$ 1 $

答案： A 

（2）已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ [-3, 3] $ 上的奇函数，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ f(x) = -x(x + 1) $，则 $ f(-3) = $ （ ）
A.$ -12 $
B.$ 12 $
C.$ 9 $
D.$ -9 $

答案： （2）$f(x)$是奇函数，故$f(-3) = -f(3)$。当$x ＞ 0$时，$f(3) = -3×(3 + 1) = -12$，则$f(-3) = -(-12) = 12$。

(1)函数 $ f(x) $ 是 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数，且当 $ x ＞ 0 $ 时，函数的解析式为 $ f(x) = \frac{2}{x} - 1 $，则 $ f(-1) = $ ( )

A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ -3 $
D.$ 3 $

答案： A

(2)设 $ f(x) = ax^2 + bx $ 是定义在 $ [a - 1, 2a] $ 上的偶函数，则 $ a + b $ 的值是 ，$ f(a) = $.

答案： $\frac{1}{3}$，$\frac{1}{27}$

1. 下列函数图象中，可以表示偶函数的有 ( )

答案： A

2. (多选题)下列函数具有奇偶性的是 ( )

A.$ f(x) = -3x^2 + 2 $
B.$ f(x) = 3|x| + 2 $
C.$ f(x) = \frac{1}{2x} $
D.$ f(x) = 2x - 1 $

答案： ABC

3. 已知函数 $ f(x) = (x + a)^2 + 1 $ 是偶函数，则 $ a = $.

答案： $0$

4. 若 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ f(x) = x^2 + \frac{5}{x} - 8 $，则 $ f(0) + f(-5) = $.

答案： -18