《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

1. 一元二次函数 $ y = -2x^{2} + 2x + 1 $ 的顶点坐标是( )

A.$ (1, 1) $
B.$ (-1, -3) $
C.$ \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right) $
D.$ \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right) $

答案： 1.C y=-2x^{2}+2x+1=-2(x-$\frac{1}{2}$)^{2}+$\frac{3}{2}$，所以顶点坐标为($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$).故选C.

2. 将 $ y = x^{2} $ 的图象向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度后所得函数解析式为( )

A.$ y = (x + 2)^{2} + 1 $
B.$ y = (x - 2)^{2} + 1 $
C.$ y = (x - 2)^{2} - 1 $
D.$ y = (x + 2)^{2} - 1 $

答案： 2.C 将$y=x^{2}$的图象向右平移2个单位长度可得到$y=(x-2)^{2}$的图象，再向下平移1个单位长度可得到$y=(x-2)^{2}-1$的图象.故选C.

3. 函数 $ y = x^{2} - 4x + 1 $ 在 $ [0, 3] $ 上的最小值是( )

A.$ -1 $
B.$ -2 $
C.$ -3 $
D.$ -4 $

答案： 3.C由函数$y=x^{2}-4x+1=(x-2)^{2}-3，$因为x∈[0,3]，所以当x=2时，函数取得最小值，最小值为$y_{min}=-3.$故选C.

4. 已知二次函数 $ y = x^{2} - 3x + m(m $ 为常数 $ ) $ 的图象与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (1, 0) $，则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 3x + m = 0 $ 的两实数根是______。

答案： 4.1,2由于$y=x^{2}-3x+m(m$为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，所以1-3+m=0，所以m=2，故$x^{2}-3x+m=(x-1)(x-2)=0，$解得$x_{1}=1,x_{2}=2.$

问题 1. 给出下面四个不等式：
(1)$x^{2}-x - 6＞0$；(2)$x^{2}-x - 6\leqslant0$；(3)$x^{2}-4x + 4\geqslant0$；(4)$2x^{2}+x + 5＜0$.
以上每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？

答案： 问题1.每个不等式含有一个未知数；未知数的最高次数是2.

答案： 本题可根据一元二次不等式的定义和一元二次不等式解集的定义进行填空。
步骤一：分析一元二次不等式的形式
一元二次不等式是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是$2$的不等式。
已知形如$ax^{2}+bx + c\gt0$，或$ax^{2}+bx + c\lt0$，根据一元二次不等式的形式，还应有$ax^{2}+bx + c\geq0$，$ax^{2}+bx + c\leq0$（其中$x$为未知数，$a,b,c$均为常数，且$a\neq0$）。
步骤二：分析一元二次不等式解集的定义
根据一元二次不等式解集的定义：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集。
综上，答案依次为$\boldsymbol{ax^{2}+bx + c\geq0}$；$\boldsymbol{ax^{2}+bx + c\leq0}$；解集。

微思考
（1）不等式$x^{2}+\frac{2}{x}＞0$是一元二次不等式吗？（2）一元二次不等式的一般形式中“$a\neq0$”可以省略吗？

答案：
(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式.
(2)不可以，若$a = 0$，就不是二次不等式了.

典例 1
下面所给关于$x$的几个不等式：①$3x + 4＜0$；②$x^{2}+mx - 1＞0$；③$ax^{2}+4x - 7＞0$；④$x^{2}＜0$，其中一定为一元二次不等式的有（ ）

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 典例1 B ①中不含$x^{2}$项，③中$x^{2}$的系数$a$有可能为0，故①不是一元二次不等式，③不一定是一元二次不等式；②④一定是一元二次不等式.故选B.

下面所给关于$x$的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ）

A.$x^{3}+5x - 6＞0$
B.$x^{2}-\frac{1}{3}x＞-1$
C.$x^{2}+\sqrt{x}+1＜0$
D.$2x^{2}＞3$

答案： 对点练1.BD 由于$x^{3}+5x - 6 ＞ 0$和$x^{2}+\sqrt{x}+1 ＜ 0$不满足一元二次不等式的定义，故A，C错误，B，D正确.故选BD.