《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )

A.$ y = \frac{1}{x} $
B.$ y = -x^2 $
C.$ y = x $
D.$ y = -x^3 $

答案： 3.D 对于A，$y = \frac{1}{x}$在$( - \infty,0)$，$(0, + \infty)$上单调递减，但是在定义域上不单调，故A错误；对于B，由幂函数性质可知，$y = - x^{2}$为偶函数，故B错误；对于C，由幂函数性质可知，$y = x$为增函数，故C错误；对于D，令$y = f(x) = - x^{3}$，因为$f( - x) = - ( - x)^{3} = - \left( - x^{3} \right) = - f(x)$，所以$y = - x^{3}$为奇函数，由幂函数性质可知，$y = - x^{3}$在定义域上单调递减，故D正确．故选D．

4. 函数 $ f(x) = x^3 $，比较两个函数值的大小：$ f \left( -\frac{5}{4} \right) $ ______ $ f \left( -\frac{4}{3} \right) $.
请完成课时分层评价 22

答案： 4.＞ 由函数$f(x) = x^{3}$在$R$上单调递增，且$- \frac{5}{4} ＞ - \frac{4}{3}$，所以$f( - \frac{5}{4}) ＞ f( - \frac{4}{3})$．

1. 已知集合 $ M=\{y|y=x^2 - 2x - 3\} $，$ N=\{x|y=\frac{2}{\sqrt{1 - x}}\} $，则 $ M\cap N = $（ ）

A.$-4,1)$
B.$-1,1)$
C.$(1,3)$
D.$[1,4]$

答案： 1. A
(1)由函数$y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4\geqslant-4$，可得$M=\{y|y\geqslant-4\}$，又由函数$y=\frac{2}{\sqrt{1-x}}$有意义，可得$1-x＞0$，解得$x＜1$，所以$N=\{x|x＜1\}$，所以$M\cap N=-4,1)$，故选A。

2. （多选题）下列函数中值域是 $0,+\infty)$ 的是（ ）

A.$ y=\sqrt{x^2 + 3x + 2} $
B.$ y=x^2 + x + \frac{1}{4} $
C.$ y=\frac{1}{|x|} $
D.$ y=2x + 1 $

答案： 2. AB
(2)要使$y=\sqrt{x^{2}+3x+2}$有意义，则$x^{2}+3x+2=(x+\frac{3}{2})^{2}-\frac{1}{4}\geqslant0$。故$y=\sqrt{x^{2}+3x+2}=\sqrt{(x+\frac{3}{2})^{2}-\frac{1}{4}}\geqslant0$，故A符合题意；$y=x^{2}+x+\frac{1}{4}=(x+\frac{1}{2})^{2}\geqslant0$，故B符合题意；$y=\frac{1}{|x|^{2}}＞0$，故C不符合题意；$y=2x+1$，则$y\in\mathbf{R}$，故D不符合题意。故选AB。