《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

问题 1. 函数 $ y = a(x - h)^{2} + k(a \neq 0) $ 的图象可以由函数 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $ 的图象经过怎样的变换得到？

答案： 函数$y=a(x-h)^{2}+k(a≠0)$的图象可以看作由$y=ax^{2}$的图象平移得到的,h决定了一元二次函数图象的左右平移，而且“h正右移，h负左移”；k决定了一元二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。

1. 抛物线
一元二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 都可以通过配方化为 $ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} + \frac{4ac - b^{2}}{4a} $，若设 $ h = $______，$ k = $______，则有 $ y = a(x - h)^{2} + k $，通常把一元二次函数的图象叫作______。

答案： 1.-$\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^{2}}{4a}$ 抛物线

2. 一元二次函数的图象变换
一元二次函数 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的图象可以由 $ y = ax^{2} $ 的图象经过向左（或向右）平移______个单位长度，再向上（或向下）平移______个单位长度而得到。

答案： 2.|h| |k|

典例 1（链教材 P34 例 1）
函数 $ y = 4x^{2} + 2x + 1 $ 的图象可以由函数 $ y = 4x^{2} $ 的图象经过怎样的变换得到？

答案： 典例1解：配方，得$y=4x^{2}+2x+1=4(x^{2}+\frac{1}{2}x)+1$
$=4(x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}-\frac{1}{16})+1=4[(x+\frac{1}{4})^{2}-\frac{1}{16}]+1$
$=4(x+\frac{1}{4})^{2}+\frac{3}{4}，$
所以函数$y=4x^{2}+2x+1$的图象可以由函数$y=4x^{2}$的图象向左平移$\frac{1}{4}$个单位长度，再向上平移$\frac{3}{4}$个单位长度得到。

(1) 一次函数 $ y = ax - b(a \neq 0) $ 与二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 在同一坐标系中的图象大致是( )


 

答案：
(1)B
(1)若a＞0，则一次函数y=ax-b(a≠0)为增函数，二次函数y=ax^{2}+bx+c(a≠0)的开口向上，故可排除A；若a＜0，则一次函数y=ax-b(a≠0)为减函数，二次函数y=ax^{2}+bx+c(a≠0)的开口向下，故可排除D；对于C，由直线可知a＜0,b＞0，从而-$\frac{b}{2a}$＞0，而图中二次函数的对称轴在y轴的左侧，故应排除C.故选B.

(2) 将函数图象向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度得到的函数解析式为 $ y = 2x^{2} + 7x + 4 $，则原函数的解析式为( )

A.$ y = 2x^{2} + 11x + 11 $
B.$ y = 2x^{2} + 3x + 7 $
C.$ y = 2x^{2} + 3x + 1 $
D.$ y = 2x^{2} + 11x + 5 $

答案：
(2)C
(2)将函数$y=2x^{2}+7x+4$的图象向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度可得到$y=2(x-1)^{2}+7(x-1)+4+2$的图象，化简可得$y=2x^{2}+3x+1.$故选C.