《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

(1) 函数 $ f(x) = |x| - \frac{m}{x} $($ x \in \mathbf{R} $)的图象不可能是( )


 

答案： （1）C （1）当$m = 0$时，$f(x) = |x|(x \neq 0)$，选项A有可能；当$m = 1$时，$f(x) = \begin{cases} x - \frac{1}{x},x ＞ 0, \\ - x - \frac{1}{x},x ＜ 0, \end{cases}$
易得$f(x)$在$(0, + \infty)$上单调递增，根据对勾函数图象易得在$( - \infty, - 1)$上单调递减，在$( - 1,0)$上单调递增，选项D有可能；当$m = - 1$时，$f(x) = \begin{cases} x + \frac{1}{x},x ＞ 0, \\ - x + \frac{1}{x},x ＜ 0, \end{cases}$
易得$f(x)$在$( - \infty,0)$上单调递减，在$(0,1)$上单调递减，在$(1, + \infty)$上单调递增，选项B有可能；所以选项C不可能．故选C．

(2) (多选题)已知函数 $ f(x) = x + \frac{4}{x} $，下面有关结论正确的有( )

A.定义域为 $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $
B.值域为 $ (-\infty, -4] \cup [4, +\infty) $
C.在 $ (-2, 0) \cup (0, 2) $ 上单调递减
D.图象关于原点对称

答案： （2）ABD （2）对于A，函数$f(x) = x + \frac{4}{x}$有意义，则满足$x \neq 0$，所以函数$f(x)$的定义域为$( - \infty,0) \cup (0, + \infty)$，故A正确；对于B，当$x ＞ 0$时，可得$x + \frac{4}{x} \geqslant 2\sqrt{x × \frac{4}{x}} = 4$，当且仅当$x = \frac{4}{x}$时，即$x = 2$时，等号成立，所以$f(x) \geqslant 4$；当$x ＜ 0$时，可得$x + \frac{4}{x} = - \left[ ( - x) + \frac{4}{ - x} \right] \leqslant - 2\sqrt{( - x) × \frac{4}{ - x}} = - 4$，当且仅当$- x = - \frac{4}{x}$时，即$x = - 2$时，等号成立，所以$f(x) \leqslant - 4$，所以函数$f(x)$的值域为$( - \infty, - 4\rbrack \cup \lbrack 4, + \infty)$，故B正确；对于C，函数$f(x) = x + \frac{4}{x}$在$( - 2,0)$，$(0,2)$上单调递减，故C不正确；对于D，函数$f(x)$的定义域为$( - \infty,0) \cup (0, + \infty)$，关于原点对称，且满足$f( - x) = - x - \frac{4}{x} = - \left( x + \frac{4}{x} \right) = - f(x)$，所以函数$f(x)$为奇函数，函数的图象关于原点对称，所以D正确．故选ABD．

1. 已知幂函数 $ y = f(x) $ 的图象经过点 $ \left( 4, \frac{1}{4} \right) $，则 $ f(2) $ 等于( )

A.$ \frac{1}{2} $
B.2
C.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
D.$ \sqrt{2} $

答案： 1.A 幂函数$y = f(x)$的图象经过点$(4,\frac{1}{4})$，设幂函数$y = x^{\alpha}$，将点代入解析式得到$4^{\alpha} = \frac{1}{4}$，解得$\alpha = - 1$．故$f(x) = x^{- 1}$，故$f(2) = \frac{1}{2}$．故选A．

2. 已知幂函数 $ f(x) = x^{4 - m} $($ m \in \mathbf{N}_+ $)为奇函数，且在区间 $ (0, +\infty) $ 上单调递增，则 $ m $ 等于( )

A.1
B.2
C.1 或 3
D.3

答案： 2.C 因为$f(x) = x^{4 - m}$在$(0, + \infty)$上单调递增，所以$4 - m ＞ 0$，即$m ＜ 4$．又因为$m \in \mathbf{N}_{+}$，所以$m = 1,2,3$．又因为$f(x) = x^{4 - m}$是奇函数，所以$4 - m$是奇数，因此$m = 1$或$m = 3$．故选C．