《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

(1)(多选题)有以下四个结论，其中正确的有( )

A.$\lg(\lg10)=0$
B.$\lg(\ln e)=0$
C.若 $e=\ln x$，则 $x = e^{2}$
D.$\ln(\lg1)=0$

答案：
(1)AB
(1)$\lg(\lg 10) = \lg 1 = 0$, $\lg(\ln \mathrm{e}) = \lg 1 = 0$，所以A、B均正确；对于C，若 $\mathrm{e} = \ln x$，则 $x = \mathrm{e}^{\mathrm{e}}$，故C错误；对于D，$\lg 1 = 0$，而 $\ln 0$ 没有意义，故D错误. 故选AB.

(2)若 $a = \log_{10}2$，$b = \log_{10}3$，则 $100^{a - \frac{b}{2}}$ 的值为 ______.

答案：
(2) $\frac{4}{3}$
(2)因为 $a = \log_{10}2$, $b = \log_{10}3$，则 $10^a = 2$, $10^b = 3$，所以 $100^{a - \frac{b}{2}} = \frac{(10^a)^2}{10^b} = \frac{4}{3}$.

典例 4
（双空题）设 $\log_{a}2 = m$，$\log_{a}3 = n(a＞0$，且 $a\neq1)$，则 $a^{2m + n}=$ ______，$a^{2m - n}=$ ______.

答案： 12 $\frac{4}{3}$ 因为 $\log_a2 = m$, $\log_a3 = n$，所以 $a^m = 2$, $a^n = 3$，所以 $a^{2m + n} = a^{2m} · a^n = 4 × 3 = 12$, $a^{2m - n} = a^{2m} ÷ a^n = 4 ÷ 3 = \frac{4}{3}$.

(1)(多选题)已知 $x = \log_{4}3$，则下列计算正确的有( )

A.$2^{x}=\sqrt{3}$
B.$2^{-x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$(2^{x}-2^{-x})^{2}=\frac{4}{3}$
D.$4^{x}=9$

答案：
(1)ABC
(1)因为 $x = \log_43$，所以 $4^x = 3$，故 $2^x = \sqrt{3}$, $2^{-x} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $(2^x - 2^{-x})^2 = \left(\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{4}{3}$. 因此选项A、B、C正确，D不正确. 故选ABC.

(2)若 $\log_{2}(\log_{3}x)=\log_{3}(\log_{4}y)=\log_{4}(\log_{2}z)=0$，则 $x + y + z$ 的值为( )

A.$9$
B.$8$
C.$7$
D.$6$

答案：
(2)A
(2)因为 $\log_2(\log_3x) = 0$，所以 $\log_3x = 2^0 = 1$，所以 $x = 3$，同理可得 $y = 4$, $z = 2$，所以 $x + y + z = 9$.

1. 将 $2^{3}=8$ 化为对数式，正确的是( )

A.$\log_{2}3=8$
B.$\log_{2}8=3$
C.$\log_{8}2=3$
D.$\log_{3}2=8$

答案： 1.B $2^3 = 8$ 化为对数式为 $\log_28 = 3$. 故选B.

2. 若 $\log_{a}8=-3$，则 $a=$( )

A.$2$
B.$4$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： 2.C 显然 $a ＞ 0$ 且 $a \neq 1$，若 $\log_a8 = -3$，则 $a^{-3} = 8$，即 $a^3 = \frac{1}{8}$，所以 $a = \frac{1}{2}$. 故选C.

3. 计算 $2^{\log_{2}3}+2\log_{3}1 - 3\lg10 + 3\ln1=$ ______.

答案： 3.$2^{\log_23} + 2\log_31 - 3\lg 10 + 3\ln 1 = 3 + 2 × 0 - 3 × 1 + 3 × 0 = 0$. 故答案为0.

4. 若对数 $\log_{3a}(-2a + 1)$ 有意义，则实数 $a$ 的取值范围是 ______.

答案： 4.$\left(0, \frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 由题意，得 $\begin{cases}3a ＞ 0, \\3a \neq 1, \\-2a + 1 ＞ 0,\end{cases}$ 解得 $0 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$ 且 $a \neq \frac{1}{3}$，所以实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)$.