《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

1. 一辆汽车在某段路上的行驶路程 $ s $ 关于时间 $ t $ 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（ ）


A.分段函数
B.二次函数
C.指数函数
D.对数函数

答案： 1.A 由题图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型.故选A.

2. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 $ x $ 应为（ ）


A.$ 10 \, m $
B.$ 15 \, m $
C.$ 20 \, m $
D.$ 25 \, m $

答案： 2.C 设矩形花园的宽为$y$m，则$\frac{x}{40}=\frac{40 - y}{40}$，即$y = 40 - x$，矩形花园面积$S = x(40 - x)=-x^{2}+40x=-(x - 20)^{2}+400$，其中$x\in(0,40)$，
故当$x = 20$m时，面积最大.故选C.

3. 如图，某小区内有一个矩形花坛 $ ABCD $，且矩形 $ ABCD $ 的周长是 4，设 $ AB = x $，$ AC = y $，则函数 $ y = f(x) $ 的大致图象为（ ）


 

答案： 3.C 由条件，得$y = \sqrt{x^{2}+(2 - x)^{2}}=\sqrt{2x^{2}-4x + 4}$，在区间$(0,1]$上是减函数在区间$[1,2)$上是增函数，由题可知选项C符合题意.故选C.

4. 用长度为 $ 24 \, m $ 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______ $ m $.

答案： 4.3 设隔墙的长度为$x(0＜x＜6)$m，矩形面积为$y$m²，则$y = x×\frac{24 - 4x}{2}=2x(6 - x)=-2(x - 3)^{2}+18$，所以当$x = 3$时，$y$最大.

典例 1
(1)已知函数 $ f(x)=\begin{cases}\log_{\frac{1}{2}}x,x＞0,\\2^{x},x\leqslant0,\end{cases} $ 若关于 $ x $ 的方程 $ f(x)=k $ 有两个不等实数根，则实数 $ k $ 的取值范围是（ ）
A.$ (0,+\infty) $
B.$ (-\infty,0) $
C.$ (1,+\infty) $
D.$ (0,1] $

答案：

(1)D
 
(1)画出函数$y = f(x)$和$y = k$的图象，如图所示.由图可知，当方程$f(x)=k$有两个不等实数根时，实数$k$的取值范围是$(0,1]$.故选D.

 

(2)已知函数 $ f(x)=\begin{cases}2,x＞m,\\x^{2}+4x+2,x\leqslant m\end{cases} $ 的图象与直线 $ y = x $ 恰有 $ 2 $ 个公共点，则实数 $ m $ 的取值范围是（ ）
A.$ [-2,-1)\cup[2,+\infty) $
B.$ [-1,2) $
C.$ [-2,-1] $
D.$ [2,+\infty) $

答案：
(2)令$g(x)=f(x)-x$，则$g(x)=\begin{cases}2 - x,x ＞ m, \\x^{2}+3x + 2,x\leq m,\end{cases}$由题意$g(x)$有两个零点，
$2 - x = 0\Rightarrow x = 2,x^{2}+3x + 2 = 0\Rightarrow x = - 2$或$x = - 1$，当$m ＜ - 2$时，$g(x)=0\Rightarrow x = 2$；当$m = - 2$时，$g(x)=0\Rightarrow x=\pm2$；当$-2 ＜ m ＜ - 1$时，$g(x)=0\Rightarrow x=\pm2$；当$m = - 1$时，$g(x)=0\Rightarrow x=\pm2$，或$x = - 1$；当$-1 ＜ m ＜ 2$时，$g(x)=0\Rightarrow x=\pm2$，或$x = - 1$；当$m = 2$时，$g(x)=0\Rightarrow x = - 2$，或$x = - 1$；当$m ＞ 2$时，$g(x)=0\Rightarrow x = - 2$，或$x = - 1$.综上所述，满足题意的$m$的取值范围为$[-2,-1)\cup[2,+\infty)$.故选A.