《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

1.函数y=2+log2x(x≥2)的值域为 ( )

A.(3,十∞∞)
B.(−∞,3)
C.3,+∞0)
D.(−∽0,3

答案： 1.C

2.已知函数f(x)=lg(x²+1),则 ( )

A.f(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)是R上的增函数
D.f(x)是R上的减函数

答案： 2.A

3.(多选题)下列函数中,是偶函数且在(0,十∞)上
单调递增的是 ( )

A.f(x)=−x²+3
B.f(x)=lg|x|
C.f(x)=1n(1+x²)
D.f(x)=x3

答案： 3.BC

4.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是
________.

答案： $4.(-\frac{1}{2},+\infty)$

观察函数 $ y = x $，$ y = 2^x $，$ y = \log_2 x $ 在区间 $ (0,+\infty) $ 上的图象，思考以下两个问题：

问题1. 三个函数在区间 $ (0,+\infty) $ 上的图象有什么特点？
问题2. 当 $ x $ 趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？

答案： 问题1.三个函数在区间(0,+∞)上的图象都是上升的，即单调递增。
问题2.三个函数的增长速度差异很大，其中y=2^x增长速度最快，y=log₂x增长速度最慢。

1. 指数函数、对数函数、幂函数图象的特征

答案： 1. 对于$y = a^{x}(a\gt1)$：
在$(0,+\infty)$上的增减性：因为指数函数$y = a^{x}(a\gt1)$的导数$y^\prime=a^{x}\ln a$，当$a\gt1$，$x\in(0,+\infty)$时，$y^\prime=a^{x}\ln a\gt0$，所以函数在$(0,+\infty)$上单调递增；增长速度越来越快；图象随$x$增大逐渐表现为与$y$轴平行（当$x\to+\infty$，$y = a^{x}(a\gt1)$增长趋势类似$y$轴方向）。
2. 对于$y=\log_{b}x(b\gt1)$：
其导数$y^\prime=\frac{1}{x\ln b}$，当$b\gt1$，$x\in(0,+\infty)$时，$y^\prime=\frac{1}{x\ln b}\gt0$，所以函数在$(0,+\infty)$上单调递增；图象随$x$增大逐渐表现为与$x$轴平行（当$x\to+\infty$，$y = \log_{b}x(b\gt1)$增长趋势类似$x$轴方向）。
3. 对于$y = x^{c}(x\gt0,c\gt0)$：
其导数$y^\prime=cx^{c - 1}$，当$c\gt0$，$x\in(0,+\infty)$时，$y^\prime=cx^{c - 1}\gt0$，所以函数在$(0,+\infty)$上单调递增。
故答案依次为：单调递增；单调递增；单调递增；越来越快；$y$轴；$x$轴。