《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例 1
(链教材 P54 例 1)(1)(多选题)下列对应关系 $ f $ 是定义在集合 $ A $ 上的一个函数的是 ( )
A.$ A = \{ -1, 0, 1 \} $，$ B = \{ -1, 0, 1 \} $，$ f $：$ A $ 中的数的平方
B.$ A = \{ 0, 1 \} $，$ B = \{ -1, 0, 1 \} $，$ f $：$ A $ 中的数的开方
C.$ A = \mathbf{Z} $，$ B = \mathbf{Q} $，$ f $：$ A $ 中的数的倒数
D.$ A = \{ 1, 2, 3, 4 \} $，$ B = \{ 2, 4, 6, 8 \} $，$ f $：$ A $ 中的数的 2 倍

答案：
(1)AD
 
(1)对于A，$( - 1)^2 = 1$，$0^2 = 0$，$1^2 = 1$，为一一对应关系，$f$是定义在集合$A$上的一个函数；对于B，$\pm \sqrt{0} = 0$，$\pm \sqrt{1} = \pm 1$，集合$A$中的元素$1$在集合$B$中有两个元素与之对应，不符合函数定义，$f$不是定义在集合$A$上的函数；对于C，$A$中的元素$0$的倒数没有意义，不符合函数定义，$f$不是定义在集合$A$上的函数；对于D，$1 × 2 = 2$，$2 × 2 = 4$，$3 × 2 = 6$，$4 × 2 = 8$，为一一对应关系，$f$是定义在集合$A$上的一个函数，故选AD.
 

(2)(多选题)下列函数表示同一个函数的是( )
规律方法
A.函数 $ y = x $ 与函数 $ y = \sqrt[3]{x^3} $
B.函数 $ y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} $ 与函数 $ y = |x - 1| $
C.函数 $ y = \frac{x^2 - 1}{x + 1} $ 与函数 $ y = x - 1 $
D.函数 $ y = \sqrt{x + 1} · \sqrt{x - 1} $ 与函数 $ y = \sqrt{x^2 - 1} $

答案：
(2)因为函数$y = \sqrt[3]{x^3} = x$，定义域为$\mathbf{R}$，所以函数$y = x$与函数$y = \sqrt[3]{x^3}$是同一个函数，故A正确；因为函数$y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} = \sqrt{(x - 1)^2} = |x - 1|$，定义域为$\mathbf{R}$，所以函数$y = \sqrt{x^2 - 2x + 1}$与函数$y = |x - 1|$是同一个函数，故B正确；因为函数$y = \frac{x^2 - 1}{x + 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = x - 1$，定义域为$\{ x|x \neq - 1\}$，而函数$y = x - 1$的定义域为$\mathbf{R}$，因为这两个函数定义域不同，所以函数$y = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$与函数$y = x - 1$不是同一个函数，故C错误；因为函数$y = \sqrt{x + 1} · \sqrt{x - 1} = \sqrt{(x + 1)(x - 1)} = \sqrt{x^2 - 1}$，定义域为$\{ x|x \geq 1\}$，而函数$y = \sqrt{x^2 - 1}$的定义域为$\{ x|x \leq - 1$，或$x \geq 1\}$，因为这两个函数定义域不同，所以函数$y = \sqrt{x + 1} · \sqrt{x - 1}$与函数$y = \sqrt{x^2 - 1}$不是同一个函数，故D错误.故选AB.

(1)下列各图中，不能表示 $ y $ 是 $ x $ 的函数的是 ( )

答案：
(1)B
(1)由函数的定义知，每一个$x$的取值，有且仅有一个$y$值与之对应，由选项A，C和D的图象可知，每一个$x$的取值，有且仅有一个$y$值与之对应，所以A，C和D能表示$y$是$x$的函数；由选项B的图象知，存在一个$x$的取值，有两个$y$值与之对应，所以不能表示$y$是$x$的函数，故选B.

(2)(多选题)下列各组函数表示同一个函数的是 ( )

A.$ f(x) = x $，$ g(x) = \sqrt{x^2} $
B.$ f(x) = x^2 $，$ g(x) = |x|^2 $
C.$ f(x) = x + 1 $，$ g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $
D.$ f(x) = \frac{x^0}{x} $，$ g(x) = \frac{x}{x^2} $

答案：
(2)BD
(2)对于A，$f(x) = x$，$g(x) = |x|$，对应关系不一致，不是同一个函数；对于B，$f(x) = x^2$，$g(x) = |x|^2 = x^2$，定义域相同，对应关系一致，是同一个函数；对于C，$f(x)$定义域为$\mathbf{R}$，$g(x)$定义域为$\{ x|x \neq 1\}$，定义域不同，不是同一个函数；对于D，$f(x)$定义域为$\{ x|x \neq 0\}$，可化为$f(x) = \frac{1}{x}$，$g(x)$定义域为$\{ x|x \neq 0\}$，可化为$g(x) = \frac{1}{x}$，是同一个函数.故选BD.

典例 2
（链教材 P55 例 2）求下列函数的定义域：
（1）$ y = \sqrt{x - 3} + \frac{1}{\sqrt{5 - x}} $；（2）$ f(x) = \frac{(x + 1)^2}{x + 1} - \sqrt{1 - x} $；（3）$ f(x) = \frac{\sqrt{5 - x}}{|x| - 3} $.
规律方法
求函数定义域的常用依据
1. 若 $ f(x) $ 是分式，则应

考

虑使分母不为零.
2. 若 $ f(x) $ 是偶次根式，则被开方数大于或等于零.
3. 若 $ f(x) $ 是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.
4. 若 $ f(x) $ 是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义.
5. 若 $ f(x) $ 是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.

答案： 解：
(1)由题意知，$\begin{cases} x - 3 \geq 0, \\ 5 - x ＞ 0 \end{cases}$解得$3 \leq x ＜ 5$，所以函数的定义域为$\{ x|3 \leq x ＜ 5\}$.
(2)为使函数有意义，只需自变量$x$的取值满足$\begin{cases} x + 1 \neq 0, \\ 1 - x \geq 0 \end{cases}$解得$x \leq 1$，且$x \neq - 1$，
所以函数的定义域为$\{ x|x \leq 1$，且$x \neq - 1\}$.
(3)为使函数有意义，只需自变量$x$的取值满足$\begin{cases} 5 - x \geq 0, \\ |x| - 3 \neq 0 \end{cases}$解得$x \leq 5$，且$x \neq \pm 3$，
所以函数的定义域为$\{ x|x \leq 5$，且$x \neq \pm 3\}$.

(1)函数 $ f(x) = \frac{(2x - 1)^0}{\sqrt{2 - x}} $ 的定义域为( )

A.$ (-\infty, 2 $
B.$ (-\infty, 2) $
C.$ (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 2 $
D.$ (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 2) $

答案：
(1)D
(1)由题可知，$\begin{cases} 2x - 1 \neq 0, \\ 2 - x ＞ 0 \end{cases}$解得$x ＜ 2$且$x \neq \frac{1}{2}$，所以函数$f(x) = \frac{(2x - 1)^0}{\sqrt{2 - x}}$的定义域为$( - \infty,\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2},2)$.故选D.

(2)函数 $ f(x) = \frac{\sqrt{-x^2 + x + 6}}{x - 1} $ 的定义域是 ______.

答案：
(2)$[ - 2,1) \cup (1,3]$
(2)由题意可得$\begin{cases} - x^2 + x + 6 \geq 0, \\ x - 1 \neq 0 \end{cases}$，由$- x^2 + x + 6 = - (x + 2)(x - 3) \geq 0$，
即$(x + 2)(x - 3) \leq 0$，有$- 2 \leq x \leq 3$，由$x - 1 \neq 0$，可得$x \neq 1$，故函数$f(x)$的定义域为$[ - 2,1) \cup (1,3]$.