《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例1
（1）函数 $ f(x) = x^2 + 3x + 2 $ 在区间 $[-5,5]$ 上的最大值、最小值分别是（ ）
A.$ 12,-\frac{1}{4} $
B.$ 2,12 $
C.$ 42,-\frac{1}{4} $
D.最小值是 $ -\frac{1}{4} $，无最大值
 

答案： （1）C； 

（2）设 $ 0 ＜ x ＜ 1 $，则函数 $ y = 2x(1 - x) $ 的最大值为________。

答案： （2）$\frac{1}{2}$

(1)若 $ 0 ＜ x ＜ 4 $，则 $ \sqrt{x(8 - 2x)} $ 有( )

A.最小值 $ 0 $
B.最大值 $ 2 $
C.最大值 $ 2\sqrt{2} $
D.最小值 $ 2 $

答案：
(1)C

(2)已知函数 $ y = -x^2 + 4x - 1,x \in 1,4) $，则函数的值域为________。

答案：
(2)(−1,3

(1)若 $ x \in [-1,3] $，求 $ f(x) $ 的单调区间和值域；

答案： （1）单调递减区间为[−1,$\frac{5}{2}$]，单调递增区间为($\frac{5}{2}$,3]，值域为[−$\frac{25}{2}$,12]

(2)设函数 $ f(x) $ 在 $[t,t + 1]$ 的最小值为 $ g(t) $，求 $ g(t) $ 的表达式。

答案： （2）g(t)=$\begin{cases}2t^{2}-6t-8,t\leq\frac{3}{2}\\ -\frac{25}{2},\frac{3}{2}＜t＜\frac{5}{2}\\ 2t^{2}-10t,t\geq\frac{5}{2}\end{cases}$

已知 $ f(x) = 2x^2 + ax + b $ 过点 $ (0,-1) $，且满足 $ f(-1) = f(2) $。
(1)若存在实数 $ x_0 $，使得不等式 $ f(x_0) - t ＜ 0 $ 成立，求实数 $ t $ 的取值范围；
(2)求 $ f(x) $ 在 $[m,m + 2]$ 上的最小值 $ h(m) $。

答案： （1）( - $\frac{3}{2}$,+∞)
@@（2）h(m)=$\begin{cases}2m^{2}+6m+3,m\leq-\frac{3}{2}\\ -\frac{3}{2},-\frac{3}{2}＜m＜\frac{1}{2}\\ 2m^{2}-2m-1,m\geq\frac{1}{2}\end{cases}$

典例3
已知函数 $ f(x) = x^2 - 2ax + 1,x \in [-5,5] $。
(1)若 $ y = f(x) $ 在 $[-5,5]$ 上是单调函数，求实数 $ a $ 的取值范围；
(2)求 $ y = f(x) $ 在区间 $[-5,5]$ 上的最小值。

答案： （1）(−∞, - 5]∪[5,+∞)
@@（2）f(x)min=$\begin{cases}26+10a,a\leq-5\\ -a^{2}+1,-5＜a＜5\\ 26-10a,a\geq5\end{cases}$