《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

(多选题) 下列叙述正确的是（ ）

A.$ \{ x | x ＞ 1 \} $ 用区间可表示为 $ 1, +\infty) $
B.$ \{ x | -3 ＜ x \leq 2 \} $ 用区间可表示为 $ (-3, 2 $
C.$ (-\infty, 3 $ 用集合可表示为 $ \{ x | x ＜ 3 \} $
D.$ [2, 4] $ 用集合可表示为 $ \{ x | 2 \leq x \leq 4 \} $

答案： BD 对于A,{x|x＞1}用区间可表示为(1,+∞)，故A错误；对于B,{x|−3＜x≤2}用区间可表示为(−3,2]，故B正确；对于C，(−∞,3]用集合可表示为{x|x≤3}，故C错误；对于D,[2,4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}，故D正确.故选BD.

典例5
已知集合 $ A = \{ a^{2} + 4a + 1, a + 1 \} $，$ B = \{ x | x^{2} + px + q = 0 \} $，$ 1 \in A $。
(1) 求实数 $ a $ 的值；
(2) 如果集合 $ A $ 是集合 $ B $ 的列举表示法，求实数 $ p, q $ 的值。
听课笔记：
变式探究
(变条件) 若将本例中“$ 1 \in A $”换成“$ 2a \in A $”，求实数 $ a $ 的值。
规律方法
根据集合中元素的特性求值的三个步骤

答案：
(1)因为1∈A，所以$a^2$+4a+1=1，或a+1=1，得a=−4，或a=0.当a=0时，$a^2$+4a+1=a+1=1，不符合元素的互异性，故a=0舍去；当a=−4时，$a^2$+4a+1=1，a+1=−3，符合题意.所以a=−4.
(2)由
(1)得A={1,−3}，故集合B中，方程$x^2$+px+q=0的两根为1,−3.由一元二次方程根与系数的关系，得p=−[1+(−3)]=2，q=1×(−3)=−3.
@@因为2a∈A，所以$a^2$+4a+1=2a，或a+1=2a，解得a=−1，或a=1.当a=−1时，此时集合A中有两个元素−2,0，符合题意；当a=1时，此时集合A中有两个元素6,2，符合题意.故所求a的值为−1或1.

(开放题) 有限数集 $ S $ 中至少含有 1 个元素且满足：若 $ a, b \in S $，则必有 $ a^{2}, b^{2}, ab \in S $。则满足条件且含有两个元素的数集 $ S = $________。（写出一个即可）

答案： {0,1}(或{−1,1}) 不妨设S={a,b}，根据题意有$a^2$，ab，$b^2$∈S，所以$a^2$，$b^2$，ab中必有两个是相等的.若$a^2$=$b^2$，则a=−b，故ab=−$a^2$，又$a^2$=a，或$a^2$=−a，所以a=0(舍去)，或a=1，或a=−1，此时S={−1,1}.
若$a^2$=ab，则a=0，此时$b^2$=b，故b=1，此时S={0,1}.若$b^2$=ab，则b=0，此时$a^2$=a，故a=1，此时S={0,1}.
综上，S={0,1}或S={−1,1}.

1. 下列四组对象，能构成集合的是( )

A.某中学所有高个子的学生
B.倒数等于它自身的实数
C.一切较大的数
D.中国著名的艺术家

答案： 1 B 某中学所有高个子的学生，一切较大的数，中国著名的艺术家，元素不明确；倒数等于它自身的实数，符合集合元素的确定性.故选B.

2. 若 $ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} $ 为集合 $ A $ 的 4 个元素，则以 $ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} $ 为边长的四边形可能是( )

A.等腰梯形
B.直角梯形
C.菱形
D.矩形

答案： 2 B 根据集合中元素的互异性，以$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$为边长的四边形，四条边均不相等，选项中只有直角梯形可能满足要求.故选B.

3. 设集合 $ B = \{ x \in \mathbf{N}^{*} | -1 \leq x ＜ 3 \} $，则( )

A.$ -1 \in B $
B.$ 0 \in B $
C.$ 2 \in B $
D.$ 3 \in B $

答案： 3 C 由题意可知：集合B={1,2}，所以−1∉B，0∉B，3∉B，即A,B,D错误，C正确.故选C.

4. 若实数 $ x $ 满足 $ \{ x | 3 \leq x ＜ 7 \} $，则用区间表示为________。

答案： 4 3,7) 由3≤x＜7可知x可以等于3，不能等于7，所以是半开半闭区间，故表示为3,7).