《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

对点练3. 若命题“∃x∈R，x² - 4x + a = 0”为真命题，求实数a的取值范围.

答案： 对点练3.解：因为命题“∃x∈R，$x^{2}-4x+a=0”$为真命题， 所以方程$x^{2}-4x+a=0$存在实数根， 则$Δ=(-4)^{2}-4a\geq0，$解得$a\leq4. $即实数a的取值范围为${a|a\leq4}.$

1. 下列命题是全称量词命题的是（ ）

A.∃x∈R，x² ＞ √2
B.存在一个菱形的四条边不相等
C.偶数的平方是偶数
D.至少有两个合数小于7

答案： 随堂评价 1.C 对于A，命题含有存在量词，此命题为存在量词命题，不符合题意； 对于B，命题含有存在量词，此命题为存在量词命题，不符合题意；对于C，命题可表述为：所有偶数的平方是偶数，此命题为全称量词命题，符合题意；对于D，命题含有存在量词，此命题为存在量词命题，不符合题意.故选C.

2. 下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）

A.所有正方形都是菱形
B.∃x∈R，使x² + 2x + 2 = 0
C.至少有一个实数x，使x³ + 1 = 0
D.∃x∈R，使x² - x + 1/4 ＜ 0

答案： 随堂评价 2.C 对于A，所有正方形都是菱形为全称量词命题，故A错误；对于B，∃x∈R，使$x^{2}+2x+2=0$为存在量词命题，而$x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1＞0$恒成立，该命题为假命题，故B错误；对于C，至少有一个实数x，使$x^{3}+1=0$为存在量词命题，当x=-1时，方程成立，该命题为真命题，故C正确；对于D，∃x∈R，使$x^{2}-x+\frac{1}{4}＜0$为存在量词命题， 而$x^{2}-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^{2}\geq0$恒成立，该命题为假命题，故D错误. 故选C.

3. 下列命题中的假命题是（ ）

A.∃x∈R，|x| = 0
B.∀x∈R，x² + 1 ＞ 0
C.∀x∈R，x³ ＞ 0
D.∃x∈R，2x - 10 = 1

答案： 随堂评价 3.C 对于A，当x=0时，|x|=0，为真命题，故A错误；对于B，因为x∈R，所以$x^{2}\geq0，$则$x^{2}+1\geq1＞0，$为真命题，故B错误；对于C，当x=0时，$x^{3}=0，$为假命题，故C正确；对于D，由2x-10=1，得$x=\frac{11}{2}，$为真命题，故D错误.故选C.

4. 将“方程x² + 1 = 0无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成.

答案： 随堂评价 4.∀x∈R，$x^{2}+1≠0 $由题意知，“方程$x^{2}+1=0$无实根”是全称量词命题，故可改写为：∀x∈R，$x^{2}+1≠0.$

问题 1. 你能说出命题 $ s $“3 的相反数是$-3$”和 $ t $“3 的相反数不是$-3$”这两个命题之间的关系吗？它们的真假性如何？

答案： 问题1.命题s是对命题t的否定，命题t也是对命题s的否定，两者真假相反，命题s是真命题，命题t是假命题.
 

问题 2. 写出下列命题的否定：
(1) 所有的正比例函数都是一次函数；
(2) $ \forall x \in \mathbf{R}, x + 1 ＞ 0 $；
(3) 被 7 整除的数都是奇数.
它们与原命题在形式上有什么变化？

答案： 问题2.三个命题都是全称量词命题，即具有“$\forall x\in M,p(x)$”的形式.其中命题
(1)的否定是“并非所有的正比例函数都是一次函数”，也就是说，存在一个正比例函数不是一次函数.
命题
(2)的否定是“并非所有的实数x，都使$x+1＞0$成立”，也就是说，$\exists x\in R,x+1\leq0$.
命题
(3)的否定是“并非所有被7整除的数都是奇数”，也就是说，存在被7整除的数不是偶数.
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.