《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例 2(链教材 P77 例 2)
计算：
(1)$ 64^{\frac{1}{2}} $；
(2)$ \left( \frac{1}{8} \right)^{\frac{1}{3}} $；
(3)$ \left( \frac{1}{27} \right)^{-\frac{2}{3}} $；
(4)$ 16^{-\frac{3}{2}} $。

答案： 解:
(1)设$b=64^{\frac{1}{2}}$,由定义,得$b^{2}=64$,所以$b=8(b＞0)$,所以$64^{\frac{1}{2}}=8$.
(2)设$b=(\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}}$,由定义,得$b^{3}=\frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^{3}$,所以$b=\frac{1}{2}$,所以$(\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$.
(3)由负分数指数幂的定义,得$(\frac{1}{27})^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{(\frac{1}{27})^{\frac{2}{3}}}$.
设$b=(\frac{1}{27})^{\frac{1}{3}}$,由定义,得$b^{3}=(\frac{1}{27})=[(\frac{1}{3})^{3}]=[(\frac{1}{3})^{3}]^{3}$,所以$b=(\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{9}$,所以$(\frac{1}{27})^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{9}}=9$.
(4)由负分数指数幂的定义,得$16^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{16^{\frac{3}{4}}}$.
设$b=16^{\frac{1}{4}}$,由定义,得$b^{2}=16^{3}=(4^{2})^{3}=(4^{3})^{2}$,所以$b=4^{3}=64(b＞0)$,所以$16^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{64}$.

计算：
(1)$ 0.125^{-\frac{1}{3}} $；
(2)$ \left( \frac{25}{36} \right)^{-\frac{1}{2}} $。

答案： 解:
(1)由负分数指数幂的定义,得$0.125^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{0.125^{\frac{1}{2}}}$.设$b=0.125^{\frac{1}{2}}$,由定义,得$b^{3}=0.125=(\frac{1}{2})^{3}$,所以$b=\frac{1}{2}$,所以$0.125^{-\frac{1}{2}}=2$.
@@解:
(2)由负分数指数幂的定义,得$(\frac{25}{36})^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{(\frac{25}{36})^{\frac{1}{2}}}$.设$b=(\frac{25}{36})^{\frac{1}{2}}$,由定义,得$b^{2}=\frac{25}{36}=(\frac{5}{6})^{2}$,所以$b=\frac{5}{6}$,所以$(\frac{25}{36})^{-\frac{1}{2}}=\frac{6}{5}$.

问题 3. 我们知道实数是由无理数与有理数构成的，而指数幂可以从整数指数幂拓展到有理数指数幂，还可以拓展到无理数指数幂吗？

答案： 可以,当指数$x$的取值范围从整数拓展到了无理数时,它仍然是一个确定的实数,在数轴上有唯一的点与它对应.

典例 3
（1）（多选题）下列各式是无理数指数幂的是（ ）
A.$ \sqrt{2} $
B.$ 2^{\sqrt{3}} $
C.$ 2^{\pi} $
D.$ 3^{\frac{1}{\pi}} $
 

答案： （1）BCD
 

（2）$ 10^{-\sqrt{3}} = $________。

答案：

下列各式正确的是（ ）

A.$ 1^{-\sqrt{2}} = 1 $
B.$ 11^{-\sqrt{2}} = (\sqrt{11})^{\frac{1}{2}} $
C.$ \pi^{-\pi} = \frac{1}{\pi^{\pi}} $
D.$ 8^{\frac{2}{3}} = 4 $

答案： ACD 对于A,$1^{-\sqrt{2}}=\frac{1}{1^{\sqrt{2}}}=1$,故A正确;对于B,$11^{-\sqrt{2}}=\frac{1}{11^{\sqrt{2}}}$,$(\sqrt{11})^{\frac{1}{2}}=(11^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=11^{\frac{1}{4}}$,故B错误;对于C,$\pi^{-\pi}=\frac{1}{\pi^{\pi}}$,故C正确;对于D,设$b=8^{\frac{1}{2}}$,所以$b^{3}=8^{2}=4^{3}$,所以$b=4$,所以$8^{\frac{1}{2}}=4$,故D正确.故选ACD.

典例 4（多选题）
下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）

A.$ \sqrt[3]{a \sqrt{a}} = a^{\frac{1}{2}} $（$ a ＞ 0 $）
B.$ x^{-\frac{3}{4}} = -\sqrt[4]{x^{3}} $（$ x ＞ 0 $）
C.$ x^{-\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt{x}} $（$ x ＞ 0 $，$ y ＞ 0 $）
D.$ \sqrt[3]{(-x)^{2}} = x^{\frac{2}{3}} $（$ x ＞ 0 $）

答案： ACD 对于A,设$b=\sqrt[3]{a\sqrt{a}}$,则$b^{3}=a· a^{\frac{1}{2}}$,所以$\frac{b^{3}}{a}=\frac{a^{\frac{3}{2}}}{a}=a^{\frac{1}{2}}$,则$b=a^{\frac{1}{3}}(a＞0)$,故A正确;对于B,$x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}(x＞0)$,故B错误;对于C,$x^{-\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}·\sqrt{y^{2}}=\frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt[4]{x^{3}}}(x＞0,y＞0)$,故C正确;对于D,$\sqrt[4]{(-x)^{2}}=\sqrt[4]{x^{2}}=x^{\frac{1}{2}}(x＞0)$,故D正确.故选ACD.