《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

(1) $\log_2 16 + \log_5 35 - \log_5 14 - \log_5 \frac{1}{50}$；

答案：
(1)log₂16 + log₅35 - log₅14 - log₅$\frac{1}{50}$
= log₂2⁴ + log₅35 - log₅14 + log₅50 = 4 + log₅($\frac{35}{14}$×50)
= 4 + log₅5³ = 4 + 3 = 7。

(2) 已知 $10^a = 3, 10^b = 2$，用 $a, b$ 表示 $\log_9 24$。

答案：
(2)由10ᵃ = 3，10ᵇ = 2，可得a = lg3，b = lg2，
则log₆24 = $\frac{lg24}{lg6}$ = $\frac{lg(3×2³)}{lg3²}$ = $\frac{lg3 + 3lg2}{2lg3}$ = $\frac{a + 3b}{2a}$。

典例 2
(1) 已知 $a = \log_8 2, b = \log_8 3, c = \frac{1}{2}$，则下列判断正确的是（ ）
A.$c ＜ b ＜ a$
B.$b ＜ a ＜ c$
C.$a ＜ c ＜ b$
D.$a ＜ b ＜ c$

答案： 典例2
(1)C
 
(1)因为2 ＜ √8 ＜ 3，所以log₈2 ＜ log₈√8 ＜ log₈3，
又log₈√8 = $\frac{1}{2}$，所以log₈2 ＜ $\frac{1}{2}$ ＜ log₈3，即a ＜ c ＜ b。故选C。
 

(2) 已知 $a = \log_3 \frac{2}{3}, b = 3^{0.2}, c = \log_2 \frac{3}{2}$，则（ ）
A.$a ＞ b ＞ c$
B.$b ＞ a ＞ c$
C.$c ＞ b ＞ a$
D.$b ＞ c ＞ a$

答案：
(2)因为a = log₃$\frac{2}{3}$ ＜ log₃1 = 0，b = 3⁰.² ＞ 1，0 = log₂1 ＜ c = log₂$\frac{3}{2}$ ＜ 1，所以b ＞ c ＞ a。故选D。

(1) 设 $a = \log_2 \pi, b = \log_{\frac{1}{2}} \pi, c = \pi^{-2}$，则( )

A.$a ＞ b ＞ c$
B.$b ＞ a ＞ c$
C.$a ＞ c ＞ b$
D.$c ＞ b ＞ a$

答案：
(1)C
(1)因为a = log₂π ＞ log₂2 = 1，b = log$_{\frac{1}{2}}$π ＜ log$_{\frac{1}{2}}$1 = 0，c = π⁻² = $\frac{1}{π²}$，即0 ＜ c ＜ 1，所以a ＞ c ＞ b。故选C。

(2) 已知 $a = \log_2 5, b = \log_4 9, c = \log_6 12$，则有( )

A.$a ＞ b ＞ c$
B.$c ＞ b ＞ a$
C.$a ＞ c ＞ b$
D.$b ＞ a ＞ c$

答案：
(2)A
(2)因为a = log₅25 = log₆25，所以a ＞ log₄9 = b，排除B、D；c = log₆12 ＜ log₆6√6 = $\frac{3}{2}$ = log₄8 ＜ b，所以a ＞ b ＞ c，故选A。

典例 3
(1) 若函数 $y = a^x(a ＞ 0$，且 $a \neq 1)$ 的图象过点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$，则函数 $y = \log_a |x|$ 的大致图象是（ ）

 

答案： 典例3
(1)B
 
(1)由于函数y = aˣ(a ＞ 0，且a ≠ 1)的图象过点($\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$)，故$\frac{1}{3}$ = a$^{\frac{1}{2}}$，所以a = $\frac{1}{9}$，则y = logₐ|x| = log$_{\frac{1}{9}}$|x| = $\begin{cases}log_{\frac{1}{9}}x, x ＞ 0 \\ log_{\frac{1}{9}}(-x), x ＜ 0 \end{cases}$，该函数为偶函数，图象关于y轴对称，且在(0，+∞)上单调递减，在(-∞，0)上单调递增，只有B图象符合该函数图象特点。故选B。
 

(2) 若 $a · \log_3 a = 2, b · 3^b = 2, c · \ln c = 2$，则 $a, b, c$ 的大小关系是（ ）
A.$b ＜ c ＜ a$
B.$a ＜ b ＜ c$
C.$b ＜ a ＜ c$
D.$c ＜ a ＜ b$

答案：

(2)由log₃a = $\frac{2}{a}$，3ᵇ = $\frac{2}{b}$，lnc = $\frac{2}{c}$，又y = log₃x，y = 3ˣ，y = lnx与y = $\frac{2}{x}$在第一象限都有一个交点，故交点横坐标依次为a，b，c，由图知：
b ＜ c ＜ a。故选A。

(1)(多选题)如图为函数 $y = m + \log_n x$ 的图象，其中 $m, n$ 为常数，则下列结论正确的是( )


A.$m ＜ 0$
B.$m ＞ 0$
C.$n ＞ 1$
D.$0 ＜ n ＜ 1$

答案：
(1)AD
(1)由函数图象可得y = m + logₐx在(0，+∞)上单调递减，所以0 ＜ a ＜ 1，又x = 1时，y ＜ 0，即m + logₐ1 = m ＜ 0，故A、D正确。故选AD。