《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

1. 不等式 $\frac{x - 2}{x} \geq 2$ 的解集为（ ）
A.$[-2, 0)$
B.$(0, +\infty)$
C.$(-\infty, -2]$
D.$(-2, +\infty)$

答案： @@1.A 因为$\frac{x - 2}{x} \geq 2$，所以$\frac{x - 2}{x} - 2 \geq 0$，即$\frac{x + 2}{x} \leq 0$，则$\begin{cases} x(x + 2) \leq 0, \\ x \neq 0, \end{cases}$解
得$-2 \leq x ＜ 0$，所以原不等式的解集为$[-2,0)$。故选A。
 

2. 已知不等式 $ax^2 + bx - 1 ＜ 0$ 的解集是 $\{x | -2 ＜ x ＜ 1\}$，则 $a + b$ 的值为（ ）
A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 2.C 因为不等式$ax^{2} + bx - 1 ＜ 0$的解集是$\{x|-2 ＜ x ＜ 1\}$，所以$x = -2,x = 1$是方程$ax^{2} + bx - 1 = 0$的两根，所以$\begin{cases} -\frac{b}{a} = -2 + 1 = -1, \\ \frac{-1}{a} = -2 × 1 = -2, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = \frac{1}{2}, \\ b = \frac{1}{2}. \end{cases}$所以$a + b = 1$。故选C。

3. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30 盏；若售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得 400 元以上（不含 400 元）的销售收入，则这批台灯的销售单价 $x$（单位：元）的取值范围是（ ）
A.$\{x | 15 \leq x ＜ 22\}$
B.$\{x | 15 \leq x ＜ 18\}$
C.$\{x | 15 \leq x ＜ 20\}$
D.$\{x | 15 \leq x ＜ 24\}$

答案： 3.C 由题意得，$[30 - 2(x - 15)] · x ＞ 400$，即$x^{2} - 30x + 200 ＜ 0$，解
得$10 ＜ x ＜ 20$，又因为$x \geq 15$，所以$15 \leq x ＜ 20$，即这批台灯的销售单价
$x$的取值范围是$\{x|15 \leq x ＜ 20\}$。故选C。

4. 已知不等式 $ax^2 - bx - 1 \geq 0$ 的解集是 $[-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}]$，则不等式 $x^2 - bx - a ＜ 0$ 的解集是________.

答案： 4.(2,3) 因为不等式$ax^{2} - bx - 1 \geq 0$的解集是$[-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}]$，所以$x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = -\frac{1}{3}$是方程$ax^{2} - bx - 1 = 0$的两根，且$a ＜ 0$，所以$\begin{cases} -\frac{1}{2} + (-\frac{1}{3}) = -\frac{5}{6} = -\frac{-b}{a}, \\ -\frac{1}{2} × (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{6} = -\frac{1}{a}, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = -6, \\ b =@@5. \end{cases}$所以不等式$x^{2} - bx - a ＜ 0$为$x^{2} - 5x + 6 ＜ 0$，解得$2 ＜ x ＜ 3$，所以所求不等式的解集为$(2,3)$。

典例1
已知不等式 $ kx^{2}+2kx-(k+2)＜0 $ 恒成立，求实数 $ k $ 的取值范围.

答案： 解：当$k=0$时，原不等式化为$-2＜0$，显然符合题意.
当$k\neq0$时，令$y=kx^{2}+2kx-(k+2)$，由$y＜0$恒成立，
所以其图象都在$x$轴的下方，即开口向下，且与$x$轴无交点.
所以$\begin{cases}k＜0,\\4k^{2}+4k(k+2)＜0.\end{cases}$解得$-1＜k＜0$.
综上，实数$k$的取值范围是$\{k\mid -1＜k\leq0\}$.