《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

(1) 若正实数 $a$，$b$ 满足 $a + 2b = 1$，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有( )

A.最小值，且最小值为 $1 + \sqrt{2}$
B.最小值，且最小值为 $3 + 2\sqrt{2}$
C.最大值，且最大值为 $1 + \sqrt{2}$
D.最大值，且最大值为 $3 + 2\sqrt{2}$

答案：
(1)B
(1)已知$a＞0,b＞0$，且满足$a + 2b = 1$，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a + 2b)=\frac{2b}{a}+\frac{a}{b}+3\geqslant3 + 2\sqrt{\frac{2b}{a}·\frac{a}{b}}=3 + 2\sqrt{2}$，当且仅当$a=\sqrt{2}-1,b=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$时，等号成立，因此$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为$3 + 2\sqrt{2}$.故选B.

(2) (多选题) 设正实数 $m$，$n$ 满足 $m + n = 2$，则( )

A.$\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为 3
B.$\sqrt{m} + \sqrt{n}$ 的最大值为 2
C.$\sqrt{mn}$ 的最大值为 1
D.$m^2 + n^2$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$

答案：
(2)BC
(2)因为正实数$m,n$满足$m + n = 2$，所以$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{1}{2}(\frac{1}{m}+\frac{2}{n})(m + n)=\frac{1}{2}(1 + 2+\frac{n}{m}+\frac{2m}{n})\geqslant\frac{1}{2}(3 + 2\sqrt{\frac{n}{m}·\frac{2m}{n}})=\frac{3}{2}+\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{n}{m}=\frac{2m}{n}$，即$m = 2\sqrt{2}-2,n = 4 - 2\sqrt{2}$时，等号成立，故A错误；$(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2=m + n + 2\sqrt{mn}=2 + 2\sqrt{mn}\leqslant2 + m + n = 4$，当且仅当$m = n = 1$时，等号成立，所以$\sqrt{m}+\sqrt{n}\leqslant2$，故B正确；$m + n\geqslant2\sqrt{mn}$，所以$\sqrt{mn}\leqslant\frac{m + n}{2}=1$，当且仅当$m = n = 1$时，等号成立，故C正确；$m^2 + n^2=(m + n)^2 - 2mn=4 - 2mn\geqslant4 - 2(\frac{m + n}{2})^2=2$，当且仅当$m = n = 1$时，等号成立，故D错误.故选BC.

典例 2
当 $x ＞ 1$ 时，不等式 $x + \frac{1}{x - 1} \geq a + 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）

A.$\{a|a \leq 2\}$
B.$\{a|a \geq 2\}$
C.$\{a|a \geq 3\}$
D.$\{a|a \leq 3\}$

答案： A 由题意，只需在$x＞1$时$(x+\frac{1}{x - 1})\geqslant a + 1$即可，又$x＞1$，则$x - 1＞0$，故$x+\frac{1}{x - 1}=x - 1+\frac{1}{x - 1}+1\geqslant2\sqrt{(x - 1)·\frac{1}{x - 1}}+1 = 3$，当且仅当$x - 1=\frac{1}{x - 1}\Rightarrow x = 2$时等号成立，故$(x+\frac{1}{x - 1})_{\min}=3$，所以$a + 1\leqslant3\Rightarrow a\leqslant2$，故实数$a$的取值范围是$\{a|a\leqslant2\}$.故选A.

(1) 已知 $x ＞ 0$，$y ＞ 0$，且 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$，若 $2x + y ＞ m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是( )

A.$(-\infty, 7$
B.$(-\infty, 7)$
C.$(-\infty, 9$
D.$(-\infty, 9)$

答案：
(1)D
(1)因为$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1,x＞0,y＞0$，故$2x + y=(2x + y)(\frac{2}{x}+\frac{1}{y})=5+\frac{2y}{x}+\frac{2x}{y}\geqslant5 + 4\sqrt{\frac{2y}{x}·\frac{2x}{y}}=5 + 4 = 9$，当且仅当$\frac{2y}{x}=\frac{2x}{y}$，即$x = y = 3$时，等号成立，故$2x + y$的最小值为9，故选D.

(2) 当 $x ＞ 2$ 时，不等式 $5x - a + \frac{4}{x - 2} ＞ 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是______.

答案：
(2)(-∞,$10 + 4\sqrt{5}$)
(2)不等式$5x - a+\frac{4}{x - 2}＞0$恒成立，即$5(x - 2)+\frac{4}{x - 2}＞a - 10$恒成立，$x＞2$，所以$5(x - 2)+\frac{4}{x - 2}\geqslant2\sqrt{5(x - 2)×\frac{4}{x - 2}}=4\sqrt{5}$，当且仅当$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}+2$时取等号，所以$a - 10＜4\sqrt{5}$，解得$a＜10 + 4\sqrt{5}$.

典例 3
(链教材 P29 例 5) 某公司建造一个长方体的粮仓，粮仓底面的长为 $x$ 米，底面面积为 64 m²，粮仓仓壁每平方米的造价为 120 元，仓顶的总造价为 4800 元. 如果仓壁高为 3 米，且不计粮仓底面的费用，设建造此粮仓的总造价为 $y$ 元.
(1) 设粮仓仓壁的面积为 $S$，用 $x$ 表示 $S$，并求出 $x$ 的取值范围；
(2) 粮仓底面的长 $x$ 为多少米时，粮仓的总造价 $y$ 最低？最低总造价是多少？

答案： 解：
(1)由题意$S = 2(\frac{64}{x}+x)×3 = 6(\frac{64}{x}+x),x＞0$.
(2)由已知$y = 6(\frac{64}{x}+x)×120 + 4800\geqslant720×2\sqrt{\frac{64}{x}· x}+4800 = 16320$元，
当且仅当$\frac{64}{x}=x$，即$x = 8$时取得最小值.
所以粮仓底面的长为8米时，粮仓的总造价$y$最低，最低总造价是16320元.

已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空地进行绿化，用栅栏围 4 个面积相同的小矩形花池，一面可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，呈现“爱我中华”字样.

(1) 若用 48 米长的栅栏围成小矩形花池(不考虑用料损耗)，则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？
(2) 若每个小矩形的面积为 $\frac{98}{3}$ 平方米，则当每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得围成 4 个小矩形花池所用栅栏总长度最小？

答案： 解：
(1)设每个小矩形花池的长、宽分别为$x$米、$y$米，则每个花池的面积为$xy$平方米.由题意可知$4x + 6y = 48$，所以$2\sqrt{2x·3y}\leqslant24$，则$xy\leqslant24$，当且仅当$2x = 3y$，即$x = 6,y = 4$时取得等号.故当每个小矩形花池的长为6米、宽为4米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大.
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(2)由题意知$xy=\frac{98}{3}$，则$y=\frac{98}{3x}$所以$4x + 6y=4x + 6×\frac{98}{3x}=4(x+\frac{49}{x})$$\geqslant4×2\sqrt{x×\frac{49}{x}}=56$，当且仅当$x=\frac{49}{x}$，即$x = 7,y=\frac{14}{3}$时取得等号，故每个小矩形花池的长为7米、宽为$\frac{14}{3}$米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小.