《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例 3
为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间 $ T $ 进行一次记录，用 $ x $ 表示经过单位时间的个数，用 $ y $ 表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据：

若该病毒的数量 $ y $（单位：万个）与经过 $ x $（$ x \in \mathbf{N}^{*} $）个单位时间 $ T $ 的关系有两个函数模型 $ y = px^{2} + q $ 与 $ y = ka^{x} $（$ k ＞ 0 $，$ a ＞ 1 $）可供选择.
(1) 判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2) 至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于 12 亿个？
参考数据：$ \sqrt{5} \approx 2.236 $，$ \sqrt{6} \approx 2.449 $，$ \lg 2 \approx 0.301 $，$ \lg 6 \approx 0.778 $.

答案：
(1)若选$y = px^{2}+q$，将$x = 2,y = 10$和$x = 4,y = 50$代入可得$\begin{cases}4p + q = 10\\16p + q = 50\end{cases}$，
解得$\begin{cases}p=\frac{10}{3}\\q=-\frac{10}{3}\end{cases}$，故$y=\frac{10}{3}x^{2}-\frac{10}{3}$，
将$x = 6$代入，得$y=\frac{10}{3}×6^{2}-\frac{10}{3}=\frac{350}{3}$与$y = 250$相差太大，不符合题意；
若选$y = ka^{x}(k＞0,a＞1)$，将$x = 2,y = 10$和$x = 4,y = 50$代入可得$\begin{cases}ka^{2}=10\\ka^{4}=50\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = 2\\a=\sqrt{5}\end{cases}$，故$y = 2·(\sqrt{5})^{x}$，
将$x = 6$代入，得$y = 2·(\sqrt{5})^{6}=250$，符合题意.
综上，选择函数$y = ka^{x}(k＞0,a＞1)$更合适，解析式为$y = 2·(\sqrt{5})^{x}$.
(2)根据题意，设至少需要$x$个单位时间，则$2(\sqrt{5})^{x}\geq120000$，
即$(\sqrt{5})^{x}\geq60000$，
两边同时取对数，可得$x\lg\sqrt{5}\geq\lg6 + 4$，
则$x\geq\frac{\lg6 + 4}{\frac{1}{2}\lg5}=\frac{\lg6 + 4}{\frac{1}{2}(\lg10 - \lg2)}\approx\frac{\lg6 + 4}{\frac{1}{2}(1 - \lg2)}\approx13.671$，
因为$x\in N_{+}$，所以$x$的最小值为14，
故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个.

某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为 $ x $ 元，朱古力蜂果蛋糕单价为 $ y $ 元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为 $ a $ 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为 $ b $ 个，花费记为 $ S_{1} $；方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为 $ b $ 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为 $ a $ 个，花费记为 $ S_{2} $.(其中 $ y ＞ x \geqslant 4 $，$ b ＞ a ＞ 4 $).
(1) 试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
(2) 若 $ a $，$ b $，$ x $，$ y $ 同时满足关系 $ y = 2x - \sqrt{x} $，$ b = 2a + \frac{4}{a - 4} $，求这两种购买方案花费的差值 $ S $ 的最小值(注：差值 $ S = $ 花费较大值 $ - $ 花费较小值).

答案：
(1)由题意得，方案一的总费用为$S_{1}=ax + by$元，
方案二的总费用为$S_{2}=bx + ay$元，所以$S_{2}-S_{1}=bx + ay-(ax + by)=(a - b)(y - x)$，因为$y＞x\geq4,b＞a＞4$，
所以$y - x＞0,a - b＜0$，故$S_{2}-S_{1}＜0,S_{2}＜S_{1}$，即方案二的花费更少.
(2)由
(1)问得$S = S_{1}-S_{2}=(b - a)(y - x)$，
因为$y = 2x-\sqrt{x},b = 2a+\frac{4}{a - 4}$，
所以$S=(2a+\frac{4}{a - 4}-a)(2x-\sqrt{x}-x)=(a+\frac{4}{a - 4})(x-\sqrt{x})=[ (a - 4)+\frac{4}{a - 4}+4](x-\sqrt{x})$，
因为$(a - 4)+\frac{4}{a - 4}+4$和$x-\sqrt{x}$互不影响，所以它们同时取到最小值
时，$S$取得最小值，而$(a - 4)+\frac{4}{a - 4}+4\geq2\sqrt{(a - 4)×\frac{4}{a - 4}}+4 = 8$，当且仅当$a - 4=\frac{4}{a - 4}$时取等号，此时$a = 6,b = 14$，由题意得$x\geq4$，所以
令$\sqrt{x}=t\geq2$，令$f(x)=x-\sqrt{x}$，故得$g(t)=t^{2}-t$，
由二次函数性质得$g(t)$的对称轴为$t=\frac{1}{2}$，
故$g(t)$在$(2,+\infty)$上单调递增，
此时$g(t)$的最小值为$g(2)=4 - 2 = 2$，故$f(x)$的最小值为2，
此时$x = 4,y = 6$，故$S$的最小值为$2×8 = 16$.