《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

(1)若 $ m ＞ 0 $，$ n ＞ 0 $，且 $ 3m + 2n - 1 = 0 $，则 $ \frac{3}{m} + \frac{2}{n} $ 的最小值为( )

A.20
B.12
C.16
D.25

答案：
(1)D

(2)已知正数 $ a $，$ b $ 满足 $ a + b = 1 $，则 $ \frac{a + 6b + 3}{ab} $ 的最小值为______.

答案：
(2)25

(1)已知正数 $ x $，$ y $ 满足 $ x^2 + 2xy - 1 = 0 $，则 $ 3x^2 + 4y^2 $ 的最小值为( )

A.1
B.2
C.$ \frac{7}{3} $
D.4

答案：
(1)B

(2)若正实数 $ a $，$ b $ 满足 $ ab = a + b + 3 $，则 $ ab $ 的最小值为______.

答案：
(2)9

(1)已知正实数 $ a $，$ b $ 满足 $ ab + 2a - 2 = 0 $，则 $ 4a + b $ 的最小值是( )

A.2
B.$ 4\sqrt{2} - 2 $
C.$ 4\sqrt{3} - 2 $
D.6

答案：
(1)B

(2)设正实数 $ x $，$ y $，$ z $ 满足 $ x^2 - 3xy + 4y^2 - z = 0 $，则当 $ \frac{xy}{z} $ 取得最大值时，$ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} - \frac{2}{z} $ 的最大值为( )

A.9
B.1
C.$ \frac{9}{4} $
D.4

答案：
(2)D

(1)已知正数 $ x $，$ y $ 满足 $ \frac{2}{x + 3y} + \frac{1}{3x + y} = 1 $，则 $ x + y $ 的最小值为( )

A.$ \frac{3 + 2\sqrt{2}}{4} $
B.$ \frac{3 + \sqrt{2}}{4} $
C.$ \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8} $
D.$ \frac{3 + \sqrt{2}}{8} $

答案：
(1)A

(2)已知 $ x $，$ y $ 为正实数，则 $ \frac{2y}{x} + \frac{16x}{2x + y} $ 的最小值为______.

答案：
(2)$8\sqrt{2} - 4$

(1)已知 $ a \geq 0 $，$ b \geq 0 $ 且 $ 2a + b = 1 $，则 $ \frac{9}{a + 1} + \frac{1}{a + b} $ 的最小值为( )

A.4
B.6
C.8
D.10

答案：
(1)C

(2)若 $ x ＞ 0 $，$ y ＞ 0 $，且 $ x + y = xy $，则 $ \frac{x}{x - 1} + \frac{2y}{y - 1} $ 的最小值为( )

A.$ 2 + 2\sqrt{3} $
B.4
C.$ 3 + 2\sqrt{2} $
D.5

答案：
(2)C

1. 若 $ x ＞ \sqrt{2} $，则 $ \frac{x^4 + 21}{x^2 - 2} $ 的最小值为（ ）

A.10
B.12
C.14
D.16

答案： 1.C

2. 已知正实数 $ a $，$ b $ 满足 $ \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2} = 1 $，则 $ a + 4b - \frac{1}{a} $ 的最小值为（ ）

A.4
B.2
C.$ 2\sqrt{2} $
D.8

答案： 2.A

3. 已知 $ p $，$ q $ 为正实数且 $ p + q = 3 $，则 $ \frac{1}{p + 2} + \frac{1}{q + 1} $ 的最小值为（ ）

A.$ \frac{2}{3} $
B.$ \frac{5}{3} $
C.$ \frac{1}{4} $
D.$ \frac{9}{5} $

答案： 3.A

4. 已知非负实数 $ x $，$ y $ 满足 $ x + y = 1 $，则 $ \frac{1}{2x} + \frac{1}{1 + y} $ 的最小值为（ ）

A.$ \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2} $
B.$ \frac{3 + 2\sqrt{2}}{4} $
C.4
D.$ \frac{4}{3} $

答案： 4.B