《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例 1
关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - 2 ( m - 1 ) x + m + 11 = 0 $，当实数 $ m $ 分别在什么范围取值时，方程的两个根：
(1) 都大于 $ 1 $；
(2) 一个大于 $ 1 $，一个小于 $ 1 $.

答案： 典例1 解：
(1)令$f(x)=x^{2}-2(m - 1)x + m + 11$，
因为$f(x)=0$的两个实数根均大于1，
所以$\begin{cases} \Delta = 4(m - 1)^{2} - 4(m + 11) \geq 0 ,\\ -\frac{-2(m - 1)}{2} ＞ 1 ,\\ f(1)=1 - 2(m - 1) + m + 11 ＞ 0 .\end{cases}$
解得$5\leq m＜14$，
所以实数$m$的取值范围为$5,14)$.
(2)因为$f(x)=0$的两个实数根，一个大于1，一个小于1，
所以$\begin{cases} \Delta = 4(m - 1)^{2} - 4(m + 11) ＞ 0 ,\\ f(1)=1 - 2(m - 1) + m + 11 ＜ 0 .\end{cases}$
解得$m＞14$，
所以实数$m$的取值范围为$(14,+\infty)$.

(1) 已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - 2 x + m - 1 = 0 $ 两个实数根一个小于 $ 0 $，另一个大于 $ 0 $，则实数 $ m $ 的取值范围是( )

A.$ ( - \infty, 2 ) $
B.$ ( - \infty, 1 ) $
C.$ ( 1, + \infty ) $
D.$ ( 1, 2 ) $

答案：
(1)B

(2) 已知函数 $ f ( x ) = x ^ { 2 } + m x + n ( m, n \in \mathbf { R } ) $ 在区间 $ ( 1, 2 ) $ 内有两个零点，则 $ 2 m - n $ 的取值范围是____.

答案：
(2)(-12,-5)

典例 2
已知函数 $ f ( x ) = 2 ^ { x } - 4 ^ { x } - m $，$ x \in [ - 1, 1 ] $.
(1) 当 $ m = - 2 $ 时，求函数 $ f ( x ) $ 的零点；
(2) 若函数 $ f ( x ) $ 在 $ [ - 1, 1 ] $ 上有零点，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： 典例2 解：
(1)当$m = -2$时，$f(x)=2^{x}-4^{x}+2$，
由$f(x)=0$，得$2^{x}-4^{x}+2 = 0$，
所以$2^{x}=2$或$2^{x}=-1$(舍去)，解得$x = 1$.
所以函数的零点为$x = 1$.
(2)$f(x)=2^{x}-4^{x}-m=0\Leftrightarrow2^{x}-4^{x}=m$，
令$g(x)=2^{x}-4^{x}$，
函数$f(x)$有零点等价于方程$2^{x}-4^{x}=m$有解，等价于$m$在$g(x)$的值域内，设$t = 2^{x}$，
因为$x\in[-1,1]$，所以$t\in[\frac{1}{2},2]$，则$t - t^{2}=-(t - \frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}$，
当$t=\frac{1}{2}$时，$g(x)_{max}=\frac{1}{4}$，
当$t = 2$时，$g(x)_{min}=-2$.
所以$g(x)$的值域为$[-2,\frac{1}{4}]$.
所以实数$m$的取值范围为$[-2,\frac{1}{4}]$.

(1) (多选题) 定义域和值域均为 $ [ - a, a ] $ 的函数 $ y = f ( x ) $ 和 $ y = g ( x ) $ 的图象如图所示，其中 $ a ＞ b ＞ c ＞ 0 $，则( )


A.方程 $ f ( g ( x ) ) = 0 $ 有且仅有 $ 3 $ 个解
B.方程 $ g ( f ( x ) ) = 0 $ 有且仅有 $ 3 $ 个解
C.方程 $ f ( f ( x ) ) = 0 $ 有且仅有 $ 5 $ 个解
D.方程 $ g ( g ( x ) ) = 0 $ 有且仅有 $ 1 $ 个解

答案：
(1)ABD