《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

1. 下列图象中，不能表示函数的是 ( )

答案： 1.C C选项的函数图象中存在$x_0 \in (0, + \infty)$，对应两个不同的函数值，故不是函数图象.故选C.

2. 函数 $ y = \frac{\sqrt{4 - |x|}}{x} $ 的定义域是 ( )

A.$ [-2, 2] $
B.$ (-2, 2) $
C.$ [-2, 0) \cup (0, 2] $
D.$ [-4, 0) \cup (0, 4] $

答案： 2.D 由题意得$\begin{cases} 4 - |x| \geq 0, \\ |x| \neq 0 \end{cases}$解得$- 4 \leq x \leq 4$且$x \neq 0$，所以函数的定义域为$[ - 4,0) \cup (0,4]$.故选D.

3. (多选题)下列各组函数是同一个函数的是( )

A.$ f(x) = x^2 - 2x - 1 $ 与 $ g(s) = s^2 - 2s - 1 $
B.$ f(x) = \sqrt{-x^3} $ 与 $ g(x) = -x \sqrt{-x} $
C.$ f(x) = \frac{x}{x} $ 与 $ g(x) = \sqrt{\frac{x}{x}} $
D.$ f(x) = x $ 与 $ g(x) = \sqrt{x^2} $

答案： 3.ABC 对于A，$f(x) = x^2 - 2x - 1$的定义域为$\mathbf{R}$，$g(x) = x^2 - 2s - 1$的定义域为$\mathbf{R}$，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确；
对于B，$f(x) = \sqrt{- x^3} = - x\sqrt{- x}$的定义域为$\{ x|x \leq 0\}$，$g(x) = - x\sqrt{- x}$的定义域为$\{ x|x \leq 0\}$，定义域相同，对应关系也相同，是同
一个函数，故B正确；对于C，$f(x) = \frac{x}{x} = 1$的定义域为$\{ x|x \neq 0\}$，
$g(x) = \sqrt{\frac{x}{x}} = 1$的定义域为$\{ x|x \neq 0\}$，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确；对于D，$f(x) = x$的定义域为$\mathbf{R}$，$g(x) = \sqrt{x^2} = |x|$的定义域为$\mathbf{R}$，定义域相同，对应关系不同，不是同一个函数，故D错误.故选ABC.

4. 已知 $ f(x) = -5x + 3 $，且 $ f(a) = 8 $，则 $ a $ 的值为 ______.

答案： 4.-1 4. 已知 $ f(x) = -5x + 3 $，且 $ f(a) = 8 $，则 $ a $ 的值为 ______.

给出下列三个对应关系：
(1) $x,y\in\mathbf{R},y = 4x - 1$；
(2) 存款利率 $y$ 与存期 $x$ 的对应关系：

(3) 李明购买 $2B$ 铅笔的费用与铅笔支数的关系如图所示.

答案： 1.
(1) 是函数关系.
理由：对于每一个实数 $x$，按照对应关系 $y = 4x - 1$，都有唯一确定的实数 $y$ 与之对应。
2.
(2) 是函数关系.
理由：对于每一个存期 $x$（$x = 3,6,12,24,36$），按照给定的对应关系，都有唯一确定的存款利率 $y$ 与之对应。
3.
(3) 是函数关系.
理由：对于每一种铅笔支数 $x$，按照图中对应的点，都有唯一确定的费用 $y$ 与之对应。

问题 1. 结合初中所学，它们分别是用什么形式表达两个变量 $x,y$ 之间的对应关系的？它们是否都是函数关系？

答案： 问题1.分别用解析式、列表、图象表示对应关系;都是函数关系.
 

问题 2. 是否任意的函数关系都可以用解析法表示？

答案： 问题2.不是.

 

答案： 解析式　表格　图象