《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

(1) 已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数，当 $ x＞0 $ 时，$ f(x)=ax + 1 $，若 $ f(-3)=8 $，则不等式 $ f(x)＞\frac{1}{4} $ 的解集为( )

A.$ (-\infty,-\frac{5}{12})\cup(0,\frac{1}{4}) $
B.$ (-\frac{5}{12},0)\cup(0,\frac{1}{4}) $
C.$ (-\infty,-\frac{5}{12})\cup(\frac{1}{4},+\infty) $
D.$ (-\frac{5}{12},0)\cup(\frac{1}{4},+\infty) $

答案：
(1)A
(1)因为函数$f(x)$是定义在R上的奇函数，所以$f(-3)=-f(3)=8$，则$f(3)=-8$，由$3a+1=-8$，即$a=-3$，即当$x＞0$时，$f(x)=-3x+1$，设$x＜0$，则$-x＞0$，则$f(x)=-f(-x)=-[-3(-x)+1]=-3x-1$，则当$x＞0$时，由$f(x)＞\frac{1}{4}$可得$-3x+1＞\frac{1}{4}$，解得$0＜x＜\frac{1}{4}$，当$x＜0$时，由$f(x)＞\frac{1}{4}$可得$-3x-1＞\frac{1}{4}$，解得$x＜-\frac{5}{12}$，所以不等式的解集为$\left(-\infty,-\frac{5}{12}\right)\cup\left(0,\frac{1}{4}\right)$.故选A.

(2) 定义在 $ [-1,1] $ 上的偶函数 $ f(x) $，当 $ x\geqslant 0 $ 时，$ f(x) $ 为减函数，则满足不等式 $ f(1 + m) ＜ f(\frac{1}{2}) $ 的实数 $ m $ 的取值范围是______。

答案：
(2)$\left[-2,-\frac{3}{2}\right)\cup\left(-\frac{1}{2},0\right]$
(2)因为函数$f(x)$是定义在$[-1,1]$上的偶函数，所以$f(1+m)＜f\left(\frac{1}{2}\right)$等价于$f(|1+m|)＜f\left(\frac{1}{2}\right)$，因为当$x\geq0$时，$f(x)$为减函数，则$\begin{cases}-1\leq1+m\leq1\\|1+m|＞\frac{1}{2}\end{cases}$解得$-2\leq m＜-\frac{3}{2}$，或$-\frac{1}{2}＜m\leq0$，所以实数$m$的取值范围是$\left[-2,-\frac{3}{2}\right)\cup\left(-\frac{1}{2},0\right]$.

(1) 已知函数 $ y = f(2x - 1) $ 的图象关于点 $ (1,-1) $ 对称，则下列函数是奇函数的是( )

A.$ y = f(2x)+1 $
B.$ y = f(2x + 1)+1 $
C.$ y = f(2x)-1 $
D.$ y = f(2x + 1)-1 $

答案：
(1)B
(1)因为函数$y=f(2x-1)$的图象关于点$(1,-1)$对称，所以将函数图象向左平移$1$个单位，再向上平移$1$个单位，可以得到函数$y=f(2x+1)-1+1$，其图象关于原点对称，即$y=f(2x+1)+1$图象关于原点对称，函数为奇函数.故选B.

(2) 已知函数 $ f(x + 1) $ 为偶函数，当 $ x＞1 $ 时，$ f(x)=x^{2}-4x + 1 $，则当 $ x＜1 $ 时，$ f(x)= $______。

答案：
(2)$x^2-3$
(2)由$f(x+1)$是偶函数可得：$f(-x+1)=f(x+1)$，即$f(x)=f(2-x)$，所以当$x＜1$时，$2-x＞1$，则$f(x)=f(2-x)=(2-x)^2-4(2-x)+1=x^2-3$.

(3) 已知函数 $ f(x) $ 定义域为 $ [a - 1,2a] $，且 $ y = f(x - 1) $ 的图象关于 $ x = 1 $ 对称，当 $ x\in[0,2a] $ 时，$ f(x) $ 单调递减，则关于 $ x $ 的不等式 $ f(x - 1)＞f(2x - 3a) $ 的解集是______。

答案：
(3)$\left(\frac{2}{3},\frac{5}{6}\right]$
(3)因为函数$y=f(x-1)$的图象关于$x=1$对称，则$f(-x)=f(x)$，故函数$f(x)$是定义在$[a-1,2a]$上的偶函数，则$a-1+2a=0$，解得$a=\frac{1}{3}$，所以函数$f(x)$是定义在$\left[-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right]$上的偶函数，由题意可知，函数$f(x)$在$\left[0,\frac{2}{3}\right]$上单调递减，由$f(x-1)＞f(2x-1)$可得$\begin{cases}|x-1|＜|2x-1|\\-\frac{2}{3}\leq x-1\leq\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}\leq2x-1\leq\frac{2}{3}\end{cases}$，解得$\frac{2}{3}＜x\leq\frac{5}{6}$.因此不等式$f(x-1)＞f(2x-3a)$的解集为$\left(\frac{2}{3},\frac{5}{6}\right]$.

1. 已知偶函数 $ f(x) $，当 $ x＞0 $ 时，$ f(x)=x^{2}+x $，则当 $ x＜0 $ 时，$ f(x)= $( )

A.$ -x^{2}+x $
B.$ -x^{2}-x $
C.$ x^{2}+x $
D.$ x^{2}-x $

答案： 1.D 当$x＜0$，则$-x＞0$，$f(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x$，又$f(x)$为偶函数，所以当$x＜0$时，$f(x)=f(-x)=x^2-x$.故选D.

2. 若奇函数 $ f(x) $ 在区间 $ [3,7] $ 上单调递增，且最小值为 5，则 $ f(x) $ 在区间 $ [-7,-3] $ 上( )

A.单调递增且有最大值 $ -5 $
B.单调递增且有最小值 $ -5 $
C.单调递减且有最大值 $ -5 $
D.单调递减且有最小值 $ -5 $

答案： 2.A 因为$f(x)$在区间$[3,7]$上单调递增，且最小值为$5$，所以$f(3)=5$.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知$f(x)$在区间$[-7,-3]$上单调递增，且有最大值$f(-3)=-f(3)=-5$.故选A.

3. 已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数 $ f(x) $ 在 $ (-\infty,0 $ 上单调递增，则不等式 $ f(x + 1)＞f(2x) $ 的解集为( )

A.$ (-\infty,-1) $
B.$ (-\infty,-1 $
C.$ (-\infty,1) $
D.$ (1,+\infty) $

答案： 3.C 因为奇函数$f(x)$在$(-\infty,0$上单调递增，所以$f(x)$在R上单调递增，因为$f(x+1)＞f(2x)$，所以$x+1＞2x$，解得$x＜1$，所以不等式的解集为$(-\infty,1)$.故选C.

4. 已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数，当 $ x\geqslant 0 $ 时，$ f(x)=2x(x + 4) $，则函数 $ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上的表达式为______。

答案： 4.$f(x)=\begin{cases}2x(x+4),x\geq0\\2x(x-4),x＜0\end{cases}$ 当$x＜0$时，$-x＞0$，故$f(-x)=-2x(-x+4)=2x(x-4)$，故$f(x)=f(-x)=2x(x-4)$，所以$f(x)=\begin{cases}2x(x+4),x\geq0\\2x(x-4),x＜0\end{cases}$