《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

1. 已知集合$ U = \mathbf{R} $，$ A = \{ x | x ＜ - 1 $，或$ x ＞ 2 \} $，则$ \complement_{U}A $等于( )

A.$ \{ x | x ＜ - 1 $，或$ x ＞ 2 \} $
B.$ \{ x | x \leq - 1 $，或$ x \geq 2 \} $
C.$ \{ x | - 1 ＜ x ＜ 2 \} $
D.$ \{ x | - 1 \leq x \leq 2 \} $

答案： 1.D 由题意可得,∁_U A={x|−1⩽x⩽2}.故选D.

2. 设全集$ U = \mathbf{R} $，$ M = \{ x | x ＜ - 1 $，或$ x ＞ 2 \} $，$ N = \{ x | 1 \leq x \leq 4 \} $，如图，阴影部分所表示的集合为( )


A.$ \{ x | - 1 \leq x \leq 4 \} $
B.$ \{ x | - 1 \leq x ＜ 1 \} $
C.$ \{ x | x \leq 1 $，或$ x ＞ 2 \} $
D.$ \{ x | - 1 \leq x \leq 2 \} $

答案： 2.B 由题意得,阴影部分可表示为∁_U (M∪N),因为M={x|x＜−1,或x＞2},N={x|1⩽x⩽4},则M∪N={x|x＜−1,或x⩾1},且U=R,所以∁_U (M∪N)={x|−1⩽x＜1}.故选B.

3. 已知集合$ A = \{ x | x ＜ a \} $，$ B = \{ x | - 2 ＜ x ＜ 1 \} $，且$ A \cup \complement_{\mathbf{R}}B = \mathbf{R} $，则实数$ a $的取值范围是( )

A.$ 1,+\infty) $
B.$ (1,+\infty) $
C.$ [-2,1] $
D.$ (-2,+\infty) $

答案： 3.A 由B={x|−2＜x＜1},得∁_R B={x|x⩽−2,或x⩾1},而A={x|x＜a},A∪∁_R B=R,则a⩾1,故实数a的取值范围是1,+∞).故选A.

4. (多选题)已知全集$ U = \mathbf{R} $，集合$ M = \{ x | x ＞ 3 \} $，$ N = \{ x | - 2 ＜ x ＜ 4 \} $，则$ \{ x | x \leq - 2 \} = $( )

A.$ M \cap (\complement_{U}N) $
B.$ \complement_{U}(M \cup N) $
C.$ (\complement_{U}M) \cap N $
D.$ (\complement_{U}M) \cap (\complement_{U}N) $ 请完成课时分层评价4

答案： 4.BD 全集U=R,集合M={x|x＞3},N={x|−2＜x＜4},则∁_U M={x|x⩽3},∁_U N={x|x⩽−2,或x⩾4},对于A,M∩(∁_U N)={x|x⩾4},故A错误；对于B,M∪N={x|x＞−2},∁_U (M∪N)={x|x⩽−2},故B正确；对于C,(∁_U M)∩N={x|−2＜x⩽3},故C错误；对于D,(∁_U M)∩(∁_U N)={x|x⩽−2},故D正确.故选BD.

问题 1. 请同学们观察下列性质定理，它们的条件与结论之间具有怎样的逻辑关系呢？
定理 1 菱形的对角线互相垂直.
定理 2 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
定理 3 如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等.

答案： 在这三个性质定理中,每个定理的条件都能推出结论;但由结论不一定能得到定理的条件.

1. 命题的概念及结构形式
可以判断______，用______表述的陈述句叫作命题. 一个命题通常可以表示为“若 $ p $，则 $ q $”和“$ p $ 是 $ q $”两种形式. 当命题表示为“若 $ p $，则 $ q $”时，$ p $ 是命题的______，$ q $ 是命题的______. 当命题“若 $ p $，则 $ q $”是真命题时，就说______，记作______.

答案： 1.真假 文字或符号 条件 结论 由$p$推出$q$ $p \Rightarrow q$

2. 必要条件

[微提醒] (1)前提 $ p \Rightarrow q $，有方向，条件在前，结论在后. (2)只有“若 $ p $，则 $ q $”为真命题时，才有“$ p \Rightarrow q $”. (3)“$ q $ 是 $ p $ 的必要条件”还可以换种说法“$ p $ 的必要条件是 $ q $”.

答案： 2.真 必要 必要

典例 1 （链教材 P15T1）用必要条件的语言表述下面的性质：
（1）若 $ \complement_{\mathbf{R}} A \subseteq \complement_{\mathbf{R}} B $，则 $ B \subseteq A $；
（2）正方形的对角线互相平分且相等；
（3）两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么内错角相等.

答案： 典例1 解：
(1)$B \subseteq A$是$\complement_R A \subseteq \complement_R B$的必要条件.
(2)四边形的对角线互相平分且相等是该四边形为正方形的必要条件.
(3)两条直线被第三条直线所截,内错角相等是两条直线平行的必要条件.