《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

典例1 设全集为R，集合$A = \{ x | 3 \leq x ＜ 6 \}$，$B = \{ x | 2 ＜ x ＜ 9 \}$。
(1)分别求$A \cap B$，$(\complement_{\mathbf{R}}A) \cup B$；
(2)已知$C = \{ x | a ＜ x ＜ a + 1 \}$，若$C \cup B = B$，求实数$a$的取值范围。

答案： 典例1 解：
(1)因为$A=\{x|3\leq x＜6\},B=\{x|2＜x＜9\}$，
则$A\cap B=\{x|3\leq x＜6\}$，
可得$\complement_{R}A=\{x|x＜3$，或$x\geq6\}$，所以$(\complement_{R}A)\cup B=R$。
(2)因为$C\cup B=B$，可知$C\subseteq B$，且$C\neq\varnothing$，可得$\begin{cases}a\geq2,\\a+1\leq9,\end{cases}$
解得$2\leq a\leq8$，
所以实数$a$的取值范围为$\{a|2\leq a\leq8\}$。

对点练1. (开放题)设全集为R，$A = \{ x | a - 1 ＜ x ＜ 2a \}$，$B = \left\{ x | \frac{x - 5}{x - 2} \leq 0 \right\}$。
(1)若$a = 4$，求$A \cap B$，$(\complement_{\mathbf{R}}A) \cap B$；
(2)请在①$A \cap B = \varnothing$，②$A \cup B = B$，③$A \cap B = B$三个条件中，任选其中一个作为条件，并求在该条件下实数$a$的取值范围。(若多个选择，只对第一个选择给分)

答案： 对点练1.解：
(1)因为$A=\{x|a - 1＜x＜2a\}$，$a = 4$，
所以$A=\{x|3＜x＜8\}$，
而$B=\left\{x\mid\frac{x - 5}{x - 2}\leq0\right\}=\{x|2＜x\leq5\}$，
所以$A\cap B=\{x|3＜x\leq5\}$，$(\complement_{R}A)\cap B=\{x|2＜x\leq3\}$。
(2)若选①，因为$A=\{x|a - 1＜x＜2a\}$，$B=\{x|2＜x\leq5\}$。
当$A=\varnothing$时，$a - 1\geq2a$，即$a\leq - 1$，此时满足$A\cap B=\varnothing$；
当$A\neq\varnothing$时，由$A\cap B=\varnothing$可得$\begin{cases}a - 1＜2a,\\2a\leq2,\end{cases}$或$\begin{cases}a - 1＜2a,\\a - 1\geq5,\end{cases}$
解得$- 1＜a\leq1$，或$a\geq6$，
综上所述，实数$a$的取值范围为$(-\infty,1]\cup[6,+\infty)$。
若选②，因为$A\cup B=B$，所以$A\subseteq B$，
又$A=\{x|a - 1＜x＜2a\}$，$B=\{x|2＜x\leq5\}$，
当$A=\varnothing$时，$a - 1\geq2a$，即$a\leq - 1$，此时满足$A\cup B=B$；
当$A\neq\varnothing$时，由$A\subseteq B$可得$\begin{cases}a - 1＜2a,\\a - 1\geq2,\\2a\leq5,\end{cases}$
化简可得不等式组无解，
综上所述，实数$a$的取值范围为$(-\infty,-1]$。
若选③，因为$A\cap B=B$，所以$B\subseteq A$，
又$A=\{x|a - 1＜x＜2a\}$，$B=\{x|2＜x\leq5\}$，
所以$\begin{cases}a - 1＜2,\\2a＞5,\end{cases}$
解得$\frac{5}{2}＜a＜3$。
所以实数$a$的取值范围为$(\frac{5}{2},3)$。

典例2 已知命题$p: 2 - a ＜ x ＜ a + 2(a ＞ 0)$，命题$q: 1 ＜ x ＜ 4$。
(1)若$p$是$q$的充分非必要条件，求实数$a$的取值范围；
(2)若$p$是$q$的必要非充分条件，求实数$a$的取值范围。

答案： 典例2 解：设$A=\{x|2 - a＜x＜a + 2\}$，$B=\{x|1＜x＜4\}$。
(1)由题意可知$A$是$B$的真子集，因为$a＞0$，
所以$a + 2＞2 - a$，即$A\neq\varnothing$，
则$\begin{cases}2 - a\geq1,\\a + 2＜4,\end{cases}$或$\begin{cases}2 - a＞1,\\a + 2\leq4,\end{cases}$解得$a\leq1$，又$a＞0$，
故实数$a$的取值范围是$\{a|0＜a\leq1\}$。
(2)由题意可知$B$是$A$的真子集，则$\begin{cases}a + 2\geq4,\\2 - a＜1,\end{cases}$或$\begin{cases}a + 2＞4,\\2 - a\leq1,\end{cases}$
解得$a\geq2$，
故实数$a$的取值范围是$\{a|a\geq2\}$。

对点练2. (1)已知命题$p: \forall x \in [1, 3]$，$x^{2} - ax + 3 \geq 0$，则$p$的一个充分不必要条件是（ ）
A.$a ＜ 3$
B.$a ＞ 3$
C.$a ＜ 4$
D.$a ＞ 4$

答案： 对点练2.
(1)A
 

(2)(多选题)下列命题正确的是（ ）
A.“$a ＞ 1$”是“$\frac{1}{a} ＜ 1$”的充分不必要条件
B.两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件
C.设$x, y \in \mathbf{R}$，则“$x \geq 2$且$y \geq 2$”是“$x^{2} + y^{2} \geq 4$”的必要而不充分条件
D.设$a, b \in \mathbf{R}$，则“$a \neq 0$”是“$ab \neq 0$”的必要而不充分条件

答案：
(2)ABD