《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

结合对数的换底公式探究 $ \log_b a $ 与 $ \log_a b $，$ \log_{a^m} b^n $ 与 $ \log_a b $ 之间有什么关系。

答案： $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$，$\log_{a^m}b^n=\frac{n}{m}\log_{a}b$。

典例 2（链教材 P105 例 3、例 4）计算：
（1）$ \log_2 9 · \log_3 4 $；（2）$ (\log_4 3 + \log_8 3) · (\log_3 2 + \log_9 2) $；（3）$ (\lg 5)^2 + \lg 2 \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 4 - \log_3 4 × \log_2 3 $。

答案： （1）原式$=\frac{\lg9·\lg4}{\lg2\lg3}=\frac{2\lg3·2\lg2}{\lg2\lg3}=4$。（2）原式$=(\frac{\lg3}{\lg4}+\frac{\lg3}{\lg8})·(\frac{\lg2}{\lg3}+\frac{\lg2}{\lg9})=(\frac{\lg3}{2\lg2}+\frac{\lg3}{3\lg2})·(\frac{\lg2}{\lg3}+\frac{\lg2}{2\lg3})=(\frac{3\lg3 + 2\lg3}{6\lg2})·(\frac{2\lg2 + \lg2}{2\lg3})=\frac{5\lg3}{6\lg2}·\frac{3\lg2}{2\lg3}=\frac{5}{4}$。（3）原式$=\lg5(\lg5+\lg2)+\lg2 - 2\log_{3}2×\log_{2}3=\lg5+\lg2 - 2 = 1 - 2=-1$。

对点练 2.（1）化简 $ (2 \log_4 3 + \log_8 3)(\log_3 2 + \log_9 2) $ 的值为（ ）
A.1
B.2
C.4
D.6

答案： （1）B； 

（2）（多选题）若实数 $ a $，$ b $ 满足 $ 2^a = 5^b = 10 $，则下列关系正确的有（ ）
A.$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 $
B.$ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = \lg 20 $
C.$ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 2 $
D.$ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \frac{1}{2} $

答案： （2）因为$2^a = 10$，所以$a = \log_2 10$，$\frac{1}{a} = \lg 2$；因为$5^b = 10$，所以$b = \log_5 10$，$\frac{1}{b} = \lg 5$。
A. $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \lg 2 + \lg 5 = \lg 10 = 1$，正确。
B. $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 2\lg 2 + \lg 5 = \lg 4 + \lg 5 = \lg 20$，正确。
C. $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \lg 2 + 2\lg 5 = \lg 2 + \lg 25 = \lg 50 \neq 2$，错误。
D. 由C知$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \lg 50 \neq \frac{1}{2}$，错误。
答案：AB

典例 3 已知 $ \log_{18} 9 = a $，$ 18^b = 5 $，求 $ \log_{36} 45 $。（用 $ a $，$ b $ 表示）
听课笔记：
变式探究
1.（变设问）若本例条件不变，如何求 $ \log_9 45 $（用 $ a $，$ b $ 表示）？
2.（变条件）若将本例条件“$ \log_{18} 9 = a $，$ 18^b = 5 $”改为“$ \log_9 4 = a $，$ 9^b = 5 $”，则又如何求解呢？
规律方法
解对数综合应用问题的方法

答案： 因为$18^{b}=5$，所以$b = \log_{18}5$。所以$\log_{36}45=\frac{\log_{18}45}{\log_{18}36}=\frac{\log_{18}(5×9)}{\log_{18}(2×18)}=\frac{\log_{18}5+\log_{18}9}{\log_{18}2+\log_{18}18}=\frac{a + b}{1+\log_{18}2}=\frac{a + b}{2-\log_{18}9}=\frac{a + b}{2 - a}$。
@@1. 因为$18^{b}=5$，所以$\log_{18}5 = b$，所以$\log_{9}45=\log_{9}(9×5)=1+\log_{9}5=1+\frac{\log_{18}5}{\log_{18}9}=1+\frac{b}{a}$。2. 因为$9^{b}=5$，所以$\log_{9}5 = b$。所以$\log_{36}45=\frac{\log_{9}45}{\log_{9}36}=\frac{\log_{9}(5×9)}{\log_{9}(4×9)}=\frac{\log_{9}5+\log_{9}9}{\log_{9}4+\log_{9}9}=\frac{b + 1}{a + 1}$。

对点练 3.（1）$ \log_2 3 = a $，$ \log_2 7 = b $，用 $ a $，$ b $ 表示 $ \log_{42} 56 = $（ ）
A.$ \frac{3 + b}{a + b} $
B.$ \frac{3 + b}{a + b + 1} $
C.$ \frac{a + b + 1}{3 + b} $
D.$ \frac{a + b}{3 + b} $

答案： （1）B； 

（2）若 $ 4^a = 3^b = 24 $，则 $ \frac{3}{a} + \frac{2}{b} = $（ ）
A.2
B.$ \log_{24} 486 $
C.$ \frac{3}{2} $
D.$ \log_{24} 566 $

答案： （2）由$4^a = 24$，得$a = \log_4 24 = \frac{\log_{24} 24}{\log_{24} 4} = \frac{1}{\log_{24} 4}$，则$\frac{1}{a} = \log_{24} 4$，$\frac{3}{a} = 3\log_{24} 4 = \log_{24} 4^3 = \log_{24} 64$；
由$3^b = 24$，得$b = \log_3 24 = \frac{1}{\log_{24} 3}$，则$\frac{1}{b} = \log_{24} 3$，$\frac{2}{b} = 2\log_{24} 3 = \log_{24} 3^2 = \log_{24} 9$；
$\frac{3}{a} + \frac{2}{b} = \log_{24} 64 + \log_{24} 9 = \log_{24} (64× 9) = \log_{24} 576 = \log_{24} 24^2 = 2$
答案：A