《2025年金版新学案高中数学必修第一册北师大版》

问题 1. 一般认为,民用住宅的窗户面积 $x\ m^2$ 必须小于地板面积 $y\ m^2$,但窗户面积与地板面积的比应不小于 $10\%$,而且这个比值越大,采光效果越好.若同时增加相同的窗户面积 $l\ m^2$ 和地板面积 $l\ m^2$,公寓的采光效果是变好了还是变坏了? 你能将这种关系用含字母 $x,y,l$ 的不等式表示出来吗?

答案： 公寓的采光效果变好了，能.用不等式表示为：$\frac{x+l}{y+l}＞\frac{x}{y}$

[微提醒] (1) 比较两实数(代数式)的大小常用作差法,作差后需对差式进行恒等变形,常采用配方、因式分解、有理化、通分等方法,直到能明显判断出其正负号(通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积或商的形式)为止. (2) 对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与 $1$ 的大小.

答案： 本题可根据作差法比较两实数（代数式）大小的基本事实进行填空。
第一行：
根据作差法比较两实数（代数式）大小的基本事实，若$a - b$是正数，即$a - b\gt0$，那么$a\gt b$，所以第一行文字表示为“$a\gt b$”，符号表示为“$a - b\gt0$”。
第二行：
若$a - b$等于$0$，即$a - b = 0$，那么$a = b$，所以第二行文字表示为“$a = b$”，符号表示为“$a - b = 0$”。
第三行：
若$a - b$是负数，即$a - b\lt0$，那么$a\lt b$，所以第三行文字表示为“$a\lt b$”，符号表示为“$a - b\lt0$”。
第四行：
由上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与$0$的大小。
综上，答案依次为：$\boldsymbol{a\gt b}$；$\boldsymbol{a - b\gt0}$；$\boldsymbol{a = b}$；$\boldsymbol{a - b = 0}$；$\boldsymbol{a\lt b}$；$\boldsymbol{a - b\lt0}$；差；$\boldsymbol{0}$。

典例 1
(1) (链教材 P25 例 1) 比较 $2x^2 + 5x + 3$ 与 $x^2 + 4x + 2$ 的大小;
(2) (链教材 P25 例 2) 试证明: 若 $x ＜ y ＜ 0$,则 $(x^2 + y^2)(x - y) ＞ (x^2 - y^2)(x + y)$.

答案：
(1)$2x^{2}+5x+3＞x^{2}+4x+2$；
(2)证明：$(x^{2}+y^{2})(x-y)-(x^{2}-y^{2})(x+y)$
$=(x-y)[(x^{2}+y^{2})-(x+y)^{2}]=-2xy(x-y)$，
因为$x＜y＜0$，所以$xy＞0,x-y＜0$，所以$-2xy(x-y)＞0$，
所以$(x^{2}+y^{2})(x-y)＞(x^{2}-y^{2})(x+y)$.

(1) 已知 $a ＞ 0,b ＞ 0$,比较 $a^3 + b^3$ 与 $ab^2 + a^2b$ 的大小;

答案：
(1)$a^{3}+b^{3} \geq ab^{2}+a^{2}b$

(2) 试证明: 若 $a,b$ 为实数,则 $2a^2 + \frac{1}{4}b^2 + 1 \geq ab + 2a$.

答案：
(2)证明：$2a^{2}+\frac{1}{4}b^{2}+1-ab-2a=(a-\frac{1}{2}b)^{2}+(a-1)^{2} \geq 0$，
当且仅当$a=1,b=2$时取等号.
所以$2a^{2}+\frac{1}{4}b^{2}+1 \geq ab+2a$.